Нил Тайсон - Добро пожаловать во Вселенную

235

Решения

54. bЗдесь все вычисляется просто — берем отношение ответа, полученного в части а), к данному в условии числу:

8

−

2 яркость гамма-лучей

2×10 Дж / с / м

=

= 200.

10

−

2 яркость видимого света

10 Дж / с / м

Яркость этого объекта просто ошарашивает. В следующей части мы увидим, что до этого объекта больше 11 миллиардов световых лет. Чтобы настолько далекий объект был настолько ярким, чтобы его было видно невооруженным глазом, — это абсолютно беспрецедентный случай в истории астрономии. А его яркость в гамма-лучах еще в 200 раз больше!

54. сМы знаем яркость b и расстояние d до гамма-всплеска, а нам нужно вычислить светимость (энергия в единицу времени), а потом помножить результат на время t , в течение которого мы наблюдали вспышку

(чтобы получить единицы энергии). Это простое упражнение на применение закона обратных квадратов. Сначала подсчитаем энергию видимого света: энергия = светимость время = 4 d 2 bt (1 + красное смещение).

Здесь расстояние равно 1,1 1010 световых лет. В световом годе приблизительно 1016 метров, поэтому d 1026 метров. Помножим это на продолжительность вспышки, которую мы наблюдали, и получим энергия = 4(1026 метров)2 10–10 Дж/с/м2 30 с 2,

что примерно равно энергия 80 1052—10 + 1 Дж = 8 1044 Дж.

Таким образом, с точностью до одной значащей цифры энергия взрыва составляет 1045 джоулей. Это энергия видимого света. Яркость гамма-излучения, а следовательно, и его энергия, еще в 200 раз больше. То есть энергия, излученная при гамма-всплеске, составляет 2 1047 Дж.

Эти расчеты позволяют дать приблизительную оценку, вероятно, не очень верную: мы, разумеется, видим излучение, направленное непосред-

236

Решения ственно на нас, и предполагаем, что оно изотропно , то есть одинаково по всем направлениям. Это предположение встроено во множитель 4 закона обратных квадратов, который связывает яркость и светимость и которым мы воспользовались. Некоторые модели гамма-всплесков предполагают, что на самом деле они ведут себя как прожектор: излучение испускается только в виде узких конусов. Поэтому мы видим всплеск, только если излучение направлено прямо на нас. Узконаправленное излучение встречается и в других астрофизических ситуациях, поэтому такая идея вовсе не безумна.

Одна популярная модель гамма-всплесков гласит, что они возникают, когда особенно массивная звезда в конце жизни коллапсирует в черную дыру; и в самом деле, случалось, что гамма-всплески наблюдались одновременно со вспышками сверхновых. Но астрофизики-теоретики пока обладают лишь зачаточными представлениями о том, как такой коллапс приводит к выбросу гамма-лучей и действительно ли такой выброс может быть направлен в узкий конус.

54. dНу что ж, раз E = mc 2, то m = E / c 2. Учитывая энергию гаммавсплеска, которую мы только вычислили в части с), масса, превращенная в энергию, составила

2 × 47

10 Дж

2 × 47

2

2

10 кг м / c m =

30

(

) ≈

= 2 × 10 кг.

×

2

17 2

2

8

10 м / с

3 10 м / с

Однако 2 1030 кг — это масса Солнца: выходит, нужно преобразовать в чистую энергию целое Солнце! Вот уж взрыв так взрыв! Но опять-таки, если выброс излучения при гамма-всплеске происходит узконаправленно, наша оценка сильно завышена.

54. еВремя, за которое Солнце испустит заданное количество энергии, — это просто энергия в джоулях, поделенная на светимость Солнца

(джоуль/секунда).

44

8 ×10 Дж

1 год

2

44−26−7

10 время =

×

= × 10 лет = 7 × 10 лет.

26

7

4 ×10 Дж / с 3 ×10 с 3

237

Решения

Чтобы дать столько энергии, Солнце должно светить 70 миллиардов лет (примерно в 7 раз больше реальной продолжительности его жизни).

И это только энергия видимого света: энергия гамма-излучения будет еще в 200 раз больше!

55. Бах-барабах!

55. аЭнергия Е фотона связана с его частотой v соотношением

Е = hv ,

где h — постоянная Планка. Частота, в свою очередь, связана с длиной волны соотношением

ν = с ,

λ

где с — скорость света. Поэтому вычислить энергию просто:

−

hc 2 / 3 ×

33

10 Дж × с × 3 × 8

10 м / с 2

−33+8+12

−

E =

=

= × 10

≈ 3 ×

14

10 Дж.

−

λ

7 ×

12

10 м

7

Нам дан поток фотонов в секунду на каждый квадратный метр. Нам нужно перевести это в яркость (энергия в секунду на каждый квадратный метр), а для этого необходимо определить количество энергии на каждый фотон. Но ведь именно это мы только что вычислили! Теперь все сводится к простому умножению:

количество фотонов энергия

11 фотонов яркость =

×

= 10

×

2

2 с×м фотон с×м

14

−

Дж

3

−

Дж

×3×10

= 3×10

.

2 фотон с×м

55. bМы только что нашли яркость b . Теперь осталось вычислить светимость L . Они связаны законом обратных квадратов: L = 4 d 2 b ,

где d — расстояние до объекта. Оно нам дано. Теперь подставим числа и, внимательно проследив, чтобы все световые годы были переведены в метры, получим:

238

Решения

L = 4 (5 104 световых лет 1016 м/световой год)2 3 10–3 Дж.

с × 2 м

Величина в скобках равна 5 1020 метров, что в квадрате даст 25

1040 метров2. Умножим 25 на 4 и получим 100; умножим на 3 и получим множитель 10. Тогда

L = 100 10 1040 10–3 Дж/с = 1040 Дж/с.

Теперь вспомним, что энергия высвободилась всего за 0,1 секунды, так что общая энергия — произведение этих чисел:

E = L t = 1039 Дж.

Сколько времени нужно Солнцу, чтобы выработать столько энергии? Мы знаем светимость Солнца (в джоулях в секунду), то есть скорость, с которой оно излучает энергию, и общее количество энергии 1039 Дж. Отношение общей энергии к скорости излучения даст время. Найдем это отношение, не забыв, что годы нужно перевести в секунды:

39 энергия

10 Дж

1 год

39−26−7−1

5 время =

=

×

= 10 лет = 10 лет,

26

7 скорость 4×10 Дж / с 3×10 с где мы приближенно приняли 3 4 = 10 (что угодно, лишь бы облегчить арифметику!). Таким образом, количество энергии, которое выделилось за

0,1 секунды при этом гамма-всплеске, эквивалентно количеству, которое

Солнце излучает за 100 000 лет.

55. сПоток фотонов связан со скоростью испускания фотонов по тому же закону обратных квадратов, что и яркость и светимость: количество фотонов в секунду поток =

.

2

4 d

π

Можно записать это выражение для двух случаев: наблюдаемого, на расстоянии d = 50 000 световых лет и с потоком f = 1011 фотонов с–1 м–2, 1

1

239

Решения и второго случая, в котором поток равен f =104 фотонов с–1 м–2, а рас-

2 стояние d нужно найти. В этих двух случаях скорость, с которой испускаются

2 фотоны, одинакова (ведь это один и тот же объект!). Тогда скорость испускания фотонов f =