Нил Тайсон - Добро пожаловать во Вселенную

59. Соперница Плутона?

59. аПоскольку Эрида находится в оппозиции, траектория Земли перпендикулярна прямой, соединяющей Землю с Эридой. Когда Земля сдвигается по орбите, направление, в котором мы смотрим на Эриду, меняется. Чтобы проделать вычисления, нужно узнать, с какой скоростью Земля движется вокруг Солнца. Для этого достаточно просто вспомнить, что Земля обходит окружность своей орбиты за 1 год, а скорость — это расстояние, поделенное на время:

2π ×1,5 × 8 v ≈

10 км = 30 км/с

3 × 7

10 с с точностью до одной значащей цифры (мы делаем стандартное приближение 3).

На сколько сместится Земля с такой скоростью за 5 часов (18 000 с)?

Округлим до 20 000 секунд и получим ответ l = 600 000 километров. Можем приближенно считать, что это движение по прямой; кривизной орбиты за 5 часов мы вправе пренебречь. Схема параллакса — узкий длинный треугольник с основанием 600 000 километров пути, который прошла Земля, длинной стороной d , равной расстоянию до Эриды, и углом 7,5 угловой секунды в вершине. Мы могли бы прибегнуть к тригонометрическим ухищрениям, чтобы найти все параметры этого треугольника (ведь нас, напомним, интересует d ), 244

Решения но гораздо проще применить малоугловую формулу. Если мы измеряем угол в радианах, и он оказывается маленьким, как бывает в астрономии сплошь и рядом, то мы имеем право применять очень простое соотношение между длинной стороной d и основанием l узких длинных треугольников: θ = l .

d

Отлично, мы у цели. В нашем случае мы знаем угол (7,5 угловых секунд) и l (примерно 6 105 км). Мы хотим решить задачу для d = l /.

Переведем угол в радианы и получим

7,5 угловых секунд = 7,5 угловых секунд

5 10–6 радиан/угловая секунда 4 10–5 радиан.

Тогда расстояние до Эриды l 6 × 5 d = =

10 км ≈ 1,5× 10

10 км.

−

θ

4 ×

5

10

В 1 а. е. 1,5 108 км, поэтому расстояние до Эриды равно 100 а. е. (Для этой задачи мы считаем, что расстояние от Солнца до Эриды и от Земли до

Эриды одно и то же — они различаются всего на 1 а. е).

Большая полуось орбиты Плутона равна 40 а. е.; Эрида заметно дальше.

Интересно, что орбита Эриды сильно эллиптична, е = 0,44 (ее эксцентриситет гораздо больше, чем у всех остальных планет Солнечной системы), и сейчас

Эрида очень близка к афелию (самому большому расстоянию от Солнца, 97,7 а. е). Перигелий Эриды (самое маленькое расстояние от Солнца, 37,9 а.е.) на самом деле находится внутри орбиты Плутона, но Эрида попадет туда лишь через 280 лет, поскольку период ее обращения составляет 560 лет.

59. bЯркость Солнца, если смотреть на него с Эриды, задается законом обратных квадратов:

= L

b

.

4π 2 d

245

Решения

Это количество энергии в единицу времени на единицу площади , которое получает Эрида. Сечение Эриды имеет площадь r 2, поэтому общая энергия в единицу времени, попадающая на Эриду, — это произведение яркости и площади:

2 r

L ×

.

2

4 d

Но отражается только доля А этого света, остальное поглощается, поэтому окончательный ответ —

2 r

AL ×

.

2

4 d

59. сВеличина, которую мы вычислили в части b), — это светимость

Эриды (по крайней мере, в отраженном свете). Мы наблюдаем ее на расстоянии d (опять же мы приближенно считаем, что расстояние от Солнца до Эриды и от Земли до Эриды одинаково). Поэтому ее яркость b прямо следует из закона обратных квадратов:

⎛ r ⎞2

2

=

1 r b AL ⎜ ⎟ ×

=

⎝ d ⎠

AL

.

2

4π 2 d

16π 2 d

Яркость далекого объекта из пояса Койпера убывает как четвертая степень расстояния. Вот почему у астрономов уходит столько времени, чтобы открыть такие далекие объекты: они очень тусклые!

Здесь мы опустили некоторые подробности. В частности, в любой заданный момент освещается только половина поверхности Эриды, поэтому она не излучает отраженный свет изотропно в полную сферу. Чтобы это учесть, нам нужна детальная модель отражения света с поверхности, а это выходит за рамки нашей задачи.

59. dДля этого решим наше уравнение для r : π

= 2

4 b r d

.

AL

246

Решения

Подставим числа. Надо следить за единообразием и применять только единицы МКС; d = 100 а. е. = 1,5 1013 м.

r

(

)

−

2

13

π × 2,4 ×

16

= ×

×

×

10

4 1,5 10 метров.

0,96 × 4 × 26

10

Как это проделать без калькулятора? Можем приближенно считать 0,96 = 1, тогда выражение под квадратным корнем примерно равно

0,6 10–42 = 2,0 10–42, а квадратный корень из него равен примерно

1,4 10–21. Тогда получаем r = 4 2,25 1026 1,4 10–21 метров.

4 2,25 = 9, а 9 1,4 — это примерно 13. Таким образом, мы получаем радиус 13 105 м, или 1300 км. И правда немало, почти столько же, сколько у самого Плутона! На самом деле сегодня считается, что точное значение радиуса Эриды — 1163 км, а Плутона — 1187 км, то есть если и больше, то совсем ненамного.

Эти вычисления зависят от наших знаний альбедо Эриды. Его вычислили на основании измерений как яркости в видимом свете (отраженный свет

Солнца, пропорциональный А ), так и инфракрасного излучения (излучение абсолютно черного тела, объясняющееся поглощенным солнечным светом, пропорциональное 1 — А ). Из сравнения этих величин мы можем определить и размер (как мы уже сделали), и альбедо.

Открытие Эриды (названной в честь богини ссор и раздоров из греческой мифологии) раскололо астрономическое сообщество по вопросу, считать ли ее планетой и каково вообще определение планеты. Об этом написаны целые тома. Основная проблема в том, что понятие планеты эволюционировало: ведь теперь мы знаем больше и понимаем, что небесные тела, которые в принципе можно было бы назвать планетами, подпадают под самые разные категории.

• Планеты земной группы: относительно маленькие каменистые тела во внутренней части Солнечной системы, в том числе Меркурий, Венера, Земля и Марс.

247

Решения

• Газовые гиганты: гораздо более крупные и более массивные небесные тела во внешней части Солнечной системы, в том числе Юпитер, Сатурн, Уран и Нептун. Обратите внимание, что Уран и Нептун, значительно менее массивные, чем Юпитер и Сатурн, на самом деле в основном состоят из замерзшей воды, аммиака и метана.

• Астероиды: объекты, находящиеся, в основном, в главном поясе астероидов между Марсом и Юпитером. Они бывают самых разных размеров.

Самое большое небесное тело в поясе астероидов — Церера с диаметром

945 км, которую часто относят к карликовым планетам.

• Объекты из пояса Койпера: ледяные тела, вращающиеся по орбитам во внешней части Солнечной системы. Плутон и Эрида входят в число самых крупных из них и тоже подпадают под классификацию карликовых планет.