Нил Тайсон - Добро пожаловать во Вселенную

60. Еще один соперник Плутона

60. аПоскольку Земля движется, направление, в котором мы смотрим на Орк, меняется. Чтобы понять, что происходит, нам нужно узнать, на сколько смещается Земля на орбите за это время. Мы уже знаем, что Земля движется по орбите вокруг Солнца со скоростью 30 км/с (можем вычислить это еще разок либо на основании третьего закона Кеплера, либо вспомнив, что Земля совершает полный круг радиусом 1 а. е. за 1 год), поэтому, раз

1 час = 3600 секунд, она проходит расстояние

D = 30 км/с 3600 с = 1,08 105 км.

Обратите внимание, что траектория Земли за этот час очень близка к прямой линии. Схема параллакса — длинный узкий треугольник с основанием 108 000 километров пути, который прошла Земля, длинной стороной r , равной расстоянию до Орка, и углом 3,8 угловой секунды в вершине.

Воспользуемся малоугловой формулой, связывающей угол в радианах, длинную сторону r и короткую d у длинных узких треугольников: 252

Решения

θ = d .

r

Перевод в радианы даст

3,8aa = 3,8aa 5 10–6 радиан/aa = 1,9 10–5 радиан.

Поэтому расстояние r до Орка d 1,08 × 5 r = =

10 км ≈ 6× 9

10 км.

−

θ

1,9 ×

5

10

В одной астрономической единице 1,5 108 км, поэтому расстояние до

Орка равно 40 а. е. (Для этой задачи мы считаем, что расстояние от Солнца до Орка и от Земли до Орка одно и то же — они различаются всего на 1 а. е).

Большая полуось орбиты Плутона тоже равна 40 а. е., поэтому орбита

Орка похожа на орбиту Плутона.

60. bЭто задачка на третий закон Кеплера: речь идет об орбите вокруг

Солнца, поэтому воспользуемся простой формулой

2

3

⎛ P ⎞

⎛ a ⎞

=

= 3

40 = 6,4 ×

⎜

⎟

4

⎜

⎟

10

⎝ годы⎠

⎝ а. е.⎠

P =

× 4 =

× 2

6,4 10

2,4 10 лет = 240 лет.

Период обращения то же, что и у Плутона (как же иначе, ведь у них одинаковые большие полуоси!) А скорость? Есть несколько способов ее найти, предлагаем хитрый. Мы знаем, что Земля вращается вокруг Солнца со скоростью 30 км/с. Еще мы знаем, что скорость движения по орбите тела массы М на расстоянии r от Солнца равна GM / r , а оба небесных тела, и Земля, и Орк, вращаются вокруг Солнца. Поэтому объект, который находится в 40 раз дальше от Солнца, движется со скоростью в 40 ≈ 6,5 раз медленнее ( М в формуле скорости — это масса Солнца, общая для орбит

Земли и Орка). То есть скорость Орка равна 30/6,5 4,5 км/с. Поэтому наше приближение, что он на самом деле неподвижен (относительно Земли), вполне правомерное!

253

Решения

60. сТретий закон Кеплера гласит, что период орбиты Нептуна

P =

3 =

× 4

30

2,7 10 = 160 лет.

Возьмем отношение с периодом обращения Орка: 240/160 = 1,5 = 3/2.

Мы говорим, что Орк находится с Нептуном в резонансе три к двум. На каждые три оборота Нептуна и на каждые два оборота Орка приходится момент, когда два тела оказываются на своих орбитах в одной и той же точке относительно друг друга и испытывают гравитационный рывок (гораздо более массивный Нептун придает Орку больше ускорения, чем Орк — Нептуну).

Механика подобных резонансов сложна: случается, из-за подобных рывков планета смещается с орбиты. В иных случаях, как и в данном, резонанс удерживает небесные тела на орбите. В списке ТНО, на который мы ссылались, на февраль 2017 года содержалось около 1800 объектов, из них целых 390, то есть свыше 20 %, имеют большую полуось между 39 и 41 а. е., и все они участвуют в этом резонансе.

Поэтому вместо того, чтобы считать Плутон бесхарактерной планеткой с самой маленькой массой, лучше величать его царем пояса Койпера, величайшим из Плутино.

60. dДля начала выясним, сколько энергии Орк получает от Солнца в единицу времени. Площадь его сечения R 2. Это площадь тени, которую п отбрасывает Орк, поэтому доля совокупной энергии нашей звезды, которую получает Орк, — это отношение площади сечения к площади поверхности сферы, центр которой — Солнце, а радиус — расстояние от Солнца до Орка: π r

⎛ r ⎞2

2 =

.

2

⎜ ⎟

4π d

⎝ 2 d ⎠

Тогда количество света в единицу времени, попадающее на Орк, составляет L ( r /2 d 2). Орк отражает долю А этого света, поэтому общее количество отраженного света равно АL ( r /2 d 2).

60. еСобственно, в части d) мы вычислили светимость Орка (по крайней мере, в отраженном свете). Мы наблюдаем Орк с расстояния d (вспомним, что

254

Решения нужно исходить из приближения, согласно которому расстояние от Солнца до Орка и от Земли до Орка одинаково). Поэтому яркость b найти просто —

применим закон обратных квадратов:

⎛ r ⎞2

2

=

1 яркость r b AL ⎜ ⎟ ×

=

⎝ d ⎠

AL

.

2

4π 2 d

16π 4 d

60. fДля этого решим уравнение относительно r : π

= 2

4 b r d

.

AL

Теперь подставим числа. Здесь нужно внимательно следить за соблюдением размерности и пользоваться только единицами МКС, так что d =

= 40 а. е. = 6 1012 метров:

r

(

)

−

2

12

π × 4 ×

16

= × ×

×

10

4 6 10

.

0,23 × 4 × 26

10

Посмотрим, сумеем ли мы обойтись без калькулятора. Величина под квадратным корнем приблизительно равна 13 10–42, квадратный корень из нее — около 3,6 10–21. Тогда r = 4 36 1024 3,6 10–21.

Чтобы вычислить это без калькулятора, вспомним, что 36 = 9 4, тогда

4 36 3,6 = 0,1 92 43 8 64 500.

Итак, мы, наконец, узнали, что r = 500 103 м = 500 км.

Таким образом, диаметр Орка — 1000 километров. Это солидный размер, почти половина диаметра самого Плутона.

Орк получил свое имя в честь этрусского бога подземного мира. Астрономы открыли и спутник, вращающийся вокруг Орка, — Вант (тоже имя из этрусской мифологии), диаметр которого примерно втрое меньше диаметра

Орка.

255

Решения

61. Воздействие планеты на материнскую звезду

61. аИмпульсы планеты и звезды равны и противонаправленны, поэтому получаем

M v = M v .

* *

p p

(Строго говоря, здесь должен стоять минус, который просто отражает, что планета и звезда движутся в противоположных направлениях, но нам не нужно сохранять минус в вычислениях для целей, поставленных в этой задаче). Нам задано найти скорость звезды

M p GM ∗

=

=

G

v

Mp

,

∗

M

r rM

∗

∗

что достаточно точно, если масса планеты гораздо меньше массы звезды

(на практике это правомерное приближение!).

61. bТеперь подставим числа. Сначала вычислим скорость Юпитера вокруг Солнца:

10

−

3 2

−

1

−

30

GM Солнце

2 / 3×10 м с кг ×2×10 кг v

=

=

=

Юпитер

5 а. е.

3

11

5× ×10 м

2

16

=

×10 (м/ с)2