Нил Тайсон - Добро пожаловать во Вселенную

1 кг

⎛ 100 см⎞3

ρ = 3,0 г / см ×

×

=

⎜

⎟

3

3000 кг / м.

1000 г ⎝ м ⎠

Теперь мы готовы вычислять объемы. Для астероида-испарителя эпипелагиальной зоны получаем

18 m

4 10 кг

15 3

V

×

= =

≈ 1×10 м

3

ρ 3000 кг / м с точностью до одной значащей цифры. Что же касается всего мирового океана, мы аналогичным образом получаем m

7 × 19

V = =

10 кг ≈ 2× 16 3

10 м.

ρ

3

3000 кг / м

62. dМы вычислили объемы астероидов в части с), теперь нам нужно найти их радиусы. Объем сферы равен 4 r 3/3. Мы хотим получить отсюда радиусы. С точностью до одной значащей цифры (а здесь мы считаем именно с такой точностью) = 3, поэтому решение уравнения для радиуса выглядит так:

⎛ V ⎞1/3 r = ⎜ ⎟

⎝ ⎠.

4

Подставим это в уравнения для обоих случаев и получим

⎛ 10 м ⎞1/3

15 3 r = ⎜

⎟ 60 000 метров для астероида, который испарит эпипелаги-

⎝ 4 ⎠

альную зону.

Да, это и правда большой астероид, его радиус — 60 километров.

Аналогичные вычисления для астероида, который испарит все океаны, дают радиус 170 километров — еще больше.

261

Решения

Нам дано, что число астероидов данного радиуса, падающих на Землю, пропорционально обратному квадрату этого радиуса. Поэтому, если за период Поздней тяжелой бомбардировки на землю трижды падали астероиды, испарявшие океаны, то

−

⎛

⎞ 2

60 км

3 ×

=

⎜

⎟

20

⎝ 170 км⎠

астероидов (с точностью до одной значащей цифры) были достаточно велики, чтобы испарить эпипелагиальную зону. То есть может оказаться, что если жизнь на Земле зародилась на ранних этапах ее истории, ее 20 раз уничтожали подчистую!

Если эти катастрофы произошли за период в 600 миллионов лет, то среднее время между ними составляло 600 миллионов лет/20, или около

30 миллионов лет.

63. Разрушители планет

63. аПрежде чем приступить к решению, заметьте, что мы несколько злоупотребляем вторым законом Ньютона. Он гласит, что ускорение тела, помноженное на его массу, равно сумме всех сил, действующих на тело.

Здесь нам нужно ускорение, вызванное каждой силой по отдельности, то есть это каждая отдельная сила, поделенная на соответствующую массу.

Общее ускорение — это сумма отдельных ускорений.

Рассмотрим два камня — один в центре, второй на поверхности спутника; пометим их 1 и 2. Расстояние от каждого из них до центра планеты

(откуда действует эффективная гравитационная сила) равно r и r — R соот-

c ветственно. Второй закон Ньютона и закон всемирного тяготения говорят, что ускорение каждого из камней, вызванное гравитацией планеты, не зависит от массы камня. Это ускорение задается формулой

GM

a =

п,

1

2 r

262

Решения и

GM

a =

п

,

2

( r − Rm )2 где M , разумеется, масса планеты. Нам эта величина не дана, но мы знаем, п что масса планеты равна M = (4/3) R 3 (масса равна плотности, умноженп п ной на объем), поэтому

GM

4 G R

п

π ρ 3 a =

=

п,

1

2

2 r

3 r

GM

4 G R

п

π ρ 3 a =

п.

2

( r R ) =

− 2 3( r − R )2 c c

В задаче просят найти разницу двух ускорений. Камень на поверхности ближе к планете, поэтому гравитационное воздействие на него сильнее.

Тогда получим

3

3

3 ⎡

⎤

4π ρ

G R

4 G R

4 G R

п

π ρ п

π ρ

Δ a =

1

1 a a

.

2 − 1 =

−

=

п ⎢

− ⎥

3( r − R )2

2

3 r

3

⎢( r − 2 2

R

r c

⎣

c)

⎥⎦

Приведем дроби к общему знаменателю и раскроем скобки в числителе: 2

4 G

π R

ρ r −(2

2

3 r − 2 rR + R

c c п

)

a

Δ =

=

3

( r − R )2 2 r c

3

2

4 G

π R

ρ

2 rR − R

п c c

=

.

3

( r − R )2 2 r c

Перепишем все это в более внятном виде, сократив все, какие удастся, множители r в числителе и знаменателе:

⎛

R c ⎞

rR 2

3 c

−

⎜

⎟

4π ρ

G R

r п

⎝

⎠

Δ a =

.

3

⎛

R c ⎞2

4 r 1−

⎜

⎟

⎝

r ⎠

263

Решения

Вычисления почти закончены, но мы еще не воспользовались тем, что R ا r ; раз так, то R / r ا 1, и мы можем пренебречь еще несколькими c c членами выражения:

3

3

4 G

π R

ρ 2 rR

8 G

π R

ρ R

п c п с a

Δ =

=

.

4

3

3 r

3 r

Проделанные умозаключения на самом деле предполагают применение дифференциального исчисления, хотя мы это так и не называем.

Разница в ускорениях объясняется тем, что камень, который ближе к планете, подвергается более сильному притяжению планеты, чем камень, который от нее дальше. Эта разница приводит тому, что камни растягивает в разные стороны друг от друга.

63. bКамни держатся вместе благодаря собственной гравитации спутника. Камень в центре не ощущает этой силы: спутник окружает его со всех сторон симметрично и не тянет в какую-то сторону сильнее остальных. Но камень на поверхности ощущает на себе гравитацию спутника в полной мере.

Эта сила направлена к центру спутника, к находящемуся там камню, и тем самым противодействует растяжению за счет приливной силы, которую мы нашли в части а). Соответствующее ускорение задается также законом всемирного тяготения Ньютона:

3

GM 4 G

π R

ρ

4 G

π R

ρ

c с a

=

=

=

,

собственная гравитация

2

2

R

3 R

3 c c где М — это полная масса спутника.

с

63. сДве силы — приливная сила, с которой действует планета, и собственная гравитация спутника — действуют противоположно. Спутник проиграет в этой борьбе и развалится под действием приливных эффектов в момент, когда приливная сила перевесит собственную гравитацию: 3

8 G

π R

ρ R

4 G

π R

ρ

п c с

>

3

3 r

3

264

Решения

3

2 R п >1,

3 r или

3

3

2 R > r п

1/3

2 R = 1,26 R > r .

П

П

Спутники, которые вращаются ближе этого расстояния к планете, скорее всего, будут разорваны приливными силами.

63. dУ каменных планет не бывает спутников ближе предела Роша, зато у газовых гигантов они встречаются (Метида и Адрастея у Юпитера, Пан, Атлас, Прометей и Пандора — у Сатурна, Корделия, Офелия, Бьянка и

Крессида — у Урана, Наяда, Таласса и Деспина — у Нептуна). Наши расчеты показали, что предел Роша не зависит от плотности, однако мы предполагали, что плотность у спутника и планеты одна и та же. Если плотность спутника выше, чем плотность газового гиганта (низкая), собственная гравитация окажется сильнее, что позволяет некоторым каменным спутникам выживать и ближе предела Роша от газовых планет.