Нил Тайсон - Добро пожаловать во Вселенную

8

=

9

=

× 4

4 / 3 10 м / с ≈ 13 км / с,

то есть чуть меньше чем половина скорости Земли, вращающейся вокруг

Солнца. Насколько велико смещение Солнца? Раз масса Юпитера очень близка к 1/1000 солнечной, из того, что мы вывели, следует, что Солнце движется со скоростью в 1/1000 скорости Юпитера, то есть 13 м/с. Это больше скорости самых быстроногих бегунов — 10 м/с — но ненамного.

61. сЗдесь нам нужно в каждом случае вычислить большую полуось планеты. Нам дано, что масса звезды равна массе Солнца, поэтому мы

256

Решения можем применить третий закон Кеплера в его простейшей форме, если выразим период в годах:

а (а. е.) = Р (годы)2/3.

Для HD 156836 это тривиально — период очень близок к 1 году, поэтому большая полуось равна 1 а. е. Для 51 Pegasi период очень короток —

4,2 суток равно 0,011 года, а если подставить это в третий закон Кеплера, получим большую полуось в 0,05 а. е. Планета вращается очень близко от материнской звезды.

Зная в обоих случаях большую полуось, мы можем применить выражение, выведенное в части а) этой задачи и связывающее скорость звезды с массой планеты. Перепишем его в виде rM ∗

M v

.

п = ∗

G

Для каждого случая мы вычислили радиусы орбиты r . И можем сразу написать формулу в массах Юпитера (нас просили дать ответ в массах Юпитера). Тогда, с учетом работы, проделанной в части b), запишем r

M

Юпитер

Солнце

M

= v

.

Юпитер

Солнце

G

Взяв отношение двух уравнений и снова вспомнив, что масса звезды равна солнечной, находим

М

v п

∗

=

r .

M

13 км / с r

Юпитер

Юпитер

Теперь подставим числа в обоих случаях; арифметика проста: 56 м / с

0,05 а. е.

для 51 Pegasi: M =

×

M

≈ 0,4 M

;

п

Юпитер

Юпитер

13 м / с

5 а. е.

464 м / с

1а. е.

для HD 156836: M

M

15 M

.

п =

×

Юпитер ≈

Юпитер

13 м / с

5 а. е.

257

Решения

Тогда планета при 51 Pegasi имеет массу немного меньше половины массы Юпитера, а планета при HD 156836 в 15 раз массивнее Юпитера. Кстати, обратите внимание, как сильно эти планеты отличаются от планет нашей

Солнечной системы. Ближайшая к Солнцу планета, Меркурий, по сравнению с

Юпитером совсем крошечная и находится чуть дальше 0,4 а. е. И уж определенно у нас нет таких сверхмассивных планет — в 15 раз массивнее Юпитера!

Отметим, что вычисленные величины не совсем точны, просто потому, что мы простоты ради приняли в каждом случае массу звезды равной массе

Солнца. А главное, эффект Доплера заметен лишь при движении вдоль луча зрения, направленного на звезду, поэтому зависит от ориентации орбиты относительно плоскости неба. Таким образом, мы видим лишь один компонент движения по орбите, а значит, массы, которые мы вычислили, определяют лишь нижние пределы величины масс этих планет.

Наконец, нам нужно найти температуру поверхности планет. Нам придется предположить, что у них нет ни альбедо, ни парникового эффекта, поэтому формула проста:

R ∗

T T

.

п = ∗

2 r

Подставим температуру поверхности Солнца и радиус орбит для обоих случаев и получим

5 для 51 Pegasi:

7×10 км

T = 6000×

≈ 1200 К.

п

8

2×0,05×1,5×10 км

Да, жарко! Для планеты, которая вращается дальше от материнской звезды, HD 156836:

5

7×10 км

T = 6000×

≈ 300 К,

п

8

2×1,5×10 км что очень близко к средней температуре поверхности Земли. Можно заключить, что при такой температуре на второй планете может найтись вода

258

Решения в жидком состоянии. Однако планеты имеют массы, сопоставимые с массой

Юпитера или превышающие ее. Такие массивные планеты состоят, подобно

Солнцу, в основном из водорода и гелия. То есть они газовые, а следовательно, у них нет твердой поверхности, на которой могли бы появиться океаны.

Мы уже упоминали, что метод оценки скорости по эффекту Допплера дает значимые результаты только при движении вдоль луча зрения. Таким образом, расчеты массы верны, только если плоскость орбиты перпендикулярна плотности небосвода. Если орбита наклонена, мы измеряем лишь долю скорости звезды, а массы, которые мы вычисляем, представляют собой нижние границы возможных диапазонов массы. Если на самом деле масса планеты больше 13 масс Юпитера, внутренняя температура у нее будет так высока, что там начнется термоядерный синтез с ядрами дейтерия (но не водорода). Такие объекты классифицируются как особый тип звезд, называемых «коричневыми карликами» и не считающихся планетами.

62. Катастрофические столкновения с астероидами

62. аМасса воды М на глубину h = 200 метров определяется плотностью воды (= 1000 кг/м3), умноженной на объем воды. Объем — это площадь, умноженная на толщину слоя:

3 площадь поверхности Земли h ,

4 что дает общую массу

M = π 2

3 R ρ

h ,

где R — радиус Земли, и мы использовали формулу поверхности сферы, 4 R 2. Подставив числа, получим массу

M = 3 (6,4 106 м)2 200 м 1000 кг/м3.

Примем 3 = 10 и 6,42 40 и получим общую массу верхних 200 метров мирового океана М = 8 1019 кг.

259

Решения

Если на каждый килограмм этой массы нужно 2,5 106 Дж, чтобы нагреть от 0 до 100 °C и превратить воду в пар, общая энергия на испарение всей этой воды равна

8 1019 кг 2,5 106 Дж/кг = 2 1026 Дж.

Это очень много! (Примерно столько энергии Солнце излучает за полсекунды).

1

62. bФормула кинетической энергии

2 mv . Нам нужно, чтобы кине-

2 тической энергии астероида, точнее, 1/4 этой энергии, хватило на испарение воды (то есть чтобы эта энергия была равна энергии, которую мы вычислили в части а). Скорость астероида v нам известна, а нас просят найти его массу. Тогда выражение выглядит следующим образом:

1 × 1 2 mv = 2 × 26

10 Дж.

4 2

(Это мы проводим вычисления для верхних 200 метров воды; обо всем мировом океане поговорим в дальнейшем). Решим это уравнение относительно m и получим 8×2× 26 2 2

10 кг м / с m =

18

(10 м/с) =4×10 кг.

2 ×

2

4

Обратите внимание, что мы выразили джоули через килограммы, метры и секунды. Да, величина получилась солидная! А насколько солидная, мы узнаем чуть позже.

Для всех земных океанов числа будут еще больше. Средняя глубина океана на Земле составляет 3,5 километра, то есть примерно 20 раз по 200 метров из расчетов, которые мы только что проделали. Поэтому полная масса океанов окажется в 20 раз больше найденной величины, а следовательно, кинетическая энергия, как и масса, падающего астероида, необходимые, чтобы испарить все океаны, будет в 3500/200 раз больше, то есть 7 1019 кг.

260

Решения

62. сОтношения между массой, плотностью и объемом, как мы уже видели, составляют m = V . Мы знаем и m , и нас просят найти V . Решить это уравнение для V очень просто, но прежде вспомним, что дана нам в неподходящих единицах, и нам нужно перевести ее килограммы на кубические метры: 3