Нил Тайсон - Добро пожаловать во Вселенную

Кольца Сатурна лежат внутри предела Роша планеты и состоят из частиц льда, плотность которых примерно равна плотности Сатурна. Эти частицы не объединились в спутники из-за приливных сил со стороны Сатурна. Однако на орбитах вокруг Сатурна за пределом Роша ледяные спутники все же есть.

64. Орбиты и температуры планет

64. аЭто задача на третий закон Кеплера. Однако она отличается от задач о вращении Земли вокруг Солнца, поскольку масса звезды больше солнечной, а большая полуось орбиты Префекта больше земной. Запишем

Ньютонову форму третьего закона Кеплера для этих случаев: 2 3

2

4π a Земли

P

=

,

Земли

GM Солнца

265

Решения

2 3

4π a

2

Префекта

P

=

.

Префекта

GM звезды

Берем отношение этих величин. Много всего сразу сокращается: 2

3

⎛ P

⎞ ⎛ a

⎞

Префекта

Префекта

⎛ M

⎞

Солнца

3

2

⎜

⎟ = ⎜

⎟ ⎜

⎟ = 4 / 4 = 4.

P

a

⎜ M

⎟

⎝ Земли ⎠ ⎝ Земли ⎠ ⎝ звезды ⎠

Тогда Р

= 4 Р

, то есть 4 года.

Префекта

Земли

64. bЕсли мы имеем право игнорировать альбедо и парниковый эффект, формула равновесной температуры выглядит так: R звезды

T

= T

,

планеты звезды

2 d где R

— это радиус материнской звезды, а d — расстояние от звезды звезды до планеты. В этой задаче мы сравниваем две планеты, вращающиеся вокруг одной и той же звезды, поэтому Т

и R

везде одинаковые. Значит,

звезды звезды когда мы вычислим отношение, все окажется очень просто: T

d

Зафода

Префекта

=

= 4 = 2.

T

d

Префекта

Зафода

64. сПлотность — это отношение массы к объему: M Зафода

ρ

=

,

Зафода

4 3

R

π Зафода

3 M Префекта

ρ

=

,

Префекта

4 3

R

π Префекта

3 где мы учли, что обе планеты сферичны, и применили соответствующую формулу объема сферы. Возьмем их отношение и получим

3

ρ

⎛ R

⎞

Зафода

Префекта

3

= ⎜

⎟ = 2 = 8,

ρ

⎜ R

⎟

Префекта

Зафода

⎝

⎠

где мы учли, что массы одинаковы и поэтому сокращаются.

266

Решения

65. Вода на других планетах?

65. аПоскольку материнская звезда во всех случаях похожа на Солнце, масса у всех звезд одинакова. Таким образом, в каждом случае можно применить третий закон Кеплера: если мы переведем период в годы, то сможем воспользоваться упрощенной формой закона Кеплера, которую предложил он сам (большая полуось в а. е. равна периоду в годах в степени 2/3), чтобы вычислить большую полуось в а. е.

Как только мы получим большую полуось а (а эксцентриситет е нам уже дан), найти минимальное и максимальное расстояние до звезды тоже просто — это соответственно а (1 — е ) и а (1 + е ). В таблице приведены все важные числа (и да, мы взяли калькулятор) в а. е.; период мы во всех случаях перевели из дней в годы.

Название

Период а (а. е.)

Минимальное

Максимальное планеты

(годы)

расстояние расстояние (а. е.)

(а. е.)

51 Pegasi

0,012

0,051

0,051

0,052

HD 209458

0,0097

0,045

0,040

0,050

55 Cancri b

0,040

0,12

0,11

0,12

55 Cancri с

0,12

0,24

0,16

0,33

55 Cancri d

15

6,0

5,0

7,0

HD 142415

1,1

1,04

0,52

1,56

Обратите внимание, что во всех случаях результат приведен с точностью до двух значащих цифр; у планет с очень маленькими эксцентриситетами разница между минимальным и максимальным расстоянием очень мала.

65. bПри альбедо, равном нулю, отношения между температурой планеты и температурой ее материнской звезды выражаются формулой

/2

R

1

⎛

⎞

звезды

T

= T

⎜

⎟.

планеты звезды ⎝ 2 d ⎠

267

Решения

Мы можем решить это уравнение для каждой из указанных планет, взяв расстояния, которые мы вычислили, и свойства Солнца (ведь, повторим, в задаче предполагается, что все эти звезды похожи на Солнце). Возьмем калькулятор и составим еще одну таблицу (температура везде дана в кельвинах).

Название

Период

Средняя Т

Т на

Т на планеты

(годы)

минимальном максимальном расстоянии расстоянии

51 Pegasi

0,012

1300

1300

1300

HD 209458

0,0097

1400

1400

1300

55 Cancri b

0,040

850

850

840

55 Cancri с

0,12

580

720

500

55 Cancri d

15

120

130

110

HD 142415

1,1

280

400

230

Обратите внимание, что температуры даны с точностью до двух значащих цифр; больше здесь было бы неуместно, поскольку, во-первых, исходные данные для свойств Солнца даны с такой же точностью и не больше, а во-вторых, поскольку упрощенные предположения касательно альбедо и парникового эффекта приводят к значительным неопределенностям.

65. сКогда эти планеты были только открыты, чтобы ответить на этот вопрос, астрономы во всем мире проделали те же расчеты, что и вы. Среди прочих неожиданностей, следовавших из данных наблюдений, едва ли не самой крупной оказалось то, что эти планеты, в отличие от наших соседок по

Солнечной системе, очень массивны (характерная масса составляет несколько масс Юпитера) и при этом вращаются очень близко к своим материнским звездам. К тому же, как вы только что видели, на этих планетах жарко . Даже при крайне высоком альбедо (что маловероятно) так называемые горячие

268

Решения

Юпитеры 51 Pegasi, HD 209458 или 55 Cancri b и с вряд ли опустятся ниже точки кипения воды. Планета 55 Cancri d находится от материнской звезды в

6 а. е., и там очень холодно, так что вся вода там наверняка в виде льда, даже при экстремальном парниковом эффекте. Разумеется, можно представить себе, что у этой планеты есть спутник, который греется под воздействием приливных сил, наподобие Европы, а тогда на нем может быть жидкая вода. Или, скажем, на дне океанов, как и на Земле, есть геотермальные источники, которые передают тепло из недр планеты, так что лед тает хотя бы локально. Наконец, HD 142415 имеет большую полуось примерно как у

Земли, поэтому равновесная температура на ней допускает существование жидкой воды. Однако эксцентриситет орбиты у нее очень велик, поэтому вода за годичный цикл то промерзает, то вскипает. Поэтому, если на подобной планете и возникла жизнь, она должна выдерживать огромные перепады температуры. А биология земной жизни учит нас, в частности, что жизнь приспосабливается к условиям, которые мы привыкли считать совершенно не подходящими для нее. Так что нельзя утверждать, что живые существа в принципе не могут выжить даже в такой экстремальной обстановке.