Нил Тайсон - Добро пожаловать во Вселенную

И в этот список еще не входят массивные спутники Земли, Юпитера и

Сатурна (самые крупные из которых значительно больше Плутона) и планеты, открытые у других звезд. Термин «планета» приобрел настолько широкое значение, что уже не поддается единому общему определению, а с открытием

Эриды и ее собратьев поле его значений еще расширилось.

59. еЭто простое применение ньютоновой формы третьего закона Кеплера, связывающего период и большую полуось вращающегося по орбите тела с массой объекта, вокруг которого оно вращается: 4π2 3

2 =

a

P

.

GM

Период мы знаем. И могли бы решить это уравнение для массы, если бы знали большую полуось. А нам дан угол, которому противолежит большая полуось на изображениях, полученных на телескопе им. Хаббла. Это очередной повод применить малоугловую формулу. Рассмотрим очень длинный и узкий треугольник, длина которого задается расстоянием от Земли до

Эридды (100 а. е.), а угол при вершине равен 0,53 угловой секунды; нам нужно найти основание треугольника:

248

Решения

1 радиан s = θ d = 0,53 угловые секунды×

×

2 × 5

10 угловых секунд

× × 10

1,5 10 км = 37000 км.

Если вывести массу из третьего закона Кеплера, получим

4π2 3

=

a

M

.

2

GP

Подставим числа и получим

4π ×(3,7×10 м)3

2

7

M =

.

−

−

−

2 / 3 ×10 м с кг ×(15,8 суток ×86400 секунд / сутки)2

10 3 2

1

Здесь мы взяли калькулятор и получили величину 1,6 1022 кг. Примечательный результат: Эрида немного массивнее Плутона!

59. fПлотность вычислить несложно: это просто отношение массы к объему. В сущности, как мы уже выяснили, и масса, и объем Эриды примерно такие же, как и у Плутона, поэтому мы не удивимся, когда получим плотность, также схожую с плотностью Плутона. Но давайте все же подставим в формулу массу и радиус, которые теперь знаем:

M

1,6 × 22

ρ =

=

10 кг

3

V

(1,3 10 м) =1800 кг/м.

4 π ×

3

6

3

Между тем в килограмме 1000 граммов, а в метре 100 сантиметров, поэтому плотность в 1000 килограмм на кубометр можно перевести в граммы на кубический сантиметр следующим образом:

3

1000 г

−

1 кг / м =

3

3

(10 см) =10 г/см.

3

2

Значит, плотность Эриды по нашим расчетам примерно равна 1,8 г/см3.

Чтобы провести по-настоящему тщательное сопоставление с Плутоном, нам пришлось бы считать с точностью до большего количества значимых цифр

249

Решения

(обратите внимание, что нам постоянно приходится возводить разные величины в куб, а это, как правило, увеличивает погрешности, вызванные округлением). На самом деле по сегодняшним данным плотность Эриды составляет 2,5 грамма на кубический сантиметр. Так или иначе, эта плотность чуть выше плотности Плутона (1,9 г/см3) и выше, чем у чистой замерзшей воды. Поэтому мы делаем вывод, что Эрида состоит из смеси породы и льда.

59. gВ главе 10 «Большого космического путешествия» выводится формула равновесной температуры планеты, вращающейся вокруг звезды:

⎛ r ⎞1/2

∗

T = T

1− 1/4

A ,

п

∗ ⎜

⎟ (

)

⎝ 2 d ⎠

где T и r — температура поверхности и радиус звезды, d — расстояние,

*

*

а А — альбедо планеты. У Эриды необычайно высокий коэффициент отражения, ее альбедо равно 0,96, она поглощает лишь 4 % падающего на нее света. Так что мы ожидаем, что там очень холодно. Подставим числа для

Солнца и Эриды и получим

1/2

5

⎛

7×10 км

⎞

1/4

T = 6000 K×⎜

⎟ ×0,04.

п

8

2×100 а. е.×1,5×10 км / а. е.

⎝

⎠

И правда прохладно: 10 К с точностью до одной значащей цифры.

На какой длине волны дает пик соответствующее излучение абсолютно черного тела? Ответ подскажет закон Вина:

0,3 см 3000 микрон

λ

=

=

= 300 микрон,

пиковая

T

10 К

что находится глубоко в инфракрасной части спектра, причем такие большие длины волн «Спитцер» уже не может регистрировать. Однако наблюдения космического телескопа «Спитцер» использовались для измерения спектра излучения абсолютно черного тела Эриды, а следовательно, для определения ее температуры и альбедо.

250

Решения

59. hВопрос в том, хватит ли скорости молекулам, находящимся при такой температуре, чтобы преодолеть гравитацию Эриды. Соберем все, что понадобится. Нам нужно вычислить тепловую скорость молекул азота при температуре, которую мы уже нашли. Кроме того, нам нужно вычислить вторую космическую скорость на поверхности Эриды, которая зависит от ее радиуса r и массы М . Вторая космическая скорость задается формулой

2 GM

v

, где G — гравитационная постоянная Ньютона. Подставим

2к =

r числа:

⎛

1/2

2

−10 3 −2 −1

22

⎞

× 10 м с кг × 1,6 ×

⎜

10 кг

3

⎟

v

2

.

2к =

×

⎜

6

⎟

1,3 ×

⎜

10 м

⎟

⎝

⎠

Разумеется, обойдемся без калькулятора. Поскольку 2 2/3 1,3, 1,3 из знаменателя сократится. Это даст нам v = 1,6 × 6

10 ≈ 1,3 × 3

10

2к метров в секунду.

Теперь нам нужно найти типичную скорость молекулы азота. Кинетическая энергия 1 2 mv при температуре Т равна 3 kT , где k — постоянная

2

2

Больцмана. Тогда = 3 kT

v

Молекула азота состоит из двух атомов азота,

m атомная масса каждого из них 14, поэтому масса этой молекулы в 28 раз больше массы атома водорода. Применим найденную температуру атмосферы и получим скорость

23

3×1,4×10− джоулей / К×10 К

v =

.

26

28×1/ 6×10− кг

Попробуем и здесь обойтись без калькулятора. В числителе

1,4 10 = 14, что сокращается с 28 в знаменателе, и остается множитель 2. 1/6 в знаменателе становится 6 в числителе, а после умножения на

3 превращается примерно в 20, и 2 в знаменателе сокращается. Соберем все степени 10 и получим v 100 метров в секунду.

251

Решения

Следовательно, вторая космическая скорость на поверхности Эриды больше чем в 10 раз превышает типичную тепловую скорость азота, поэтому азот никуда не улетит. Более того, при таких низких температурах он, скорее всего, находится в твердом состоянии, и именно лед на поверхности и объясняет, откуда у Эриды такое высокое альбедо.

История о том, как газ улетает с планеты, несколько сложнее, чем мы здесь обрисовали. Скорость молекул азота, которую мы вычислили, на самом деле лишь средняя, а распределение скоростей в реальности довольно широкое. То есть при средней скорости в 100 метров в секунду какая-то доля молекул азота движется со скоростью 500 метров в секунду и даже больше. Но в этом случае вторая космическая скорость в целых 10 раз больше средней скорости, поэтому улететь с Эриды удастся лишь очень немногим молекулам.