Нил Тайсон - Добро пожаловать во Вселенную

L = 4 R 2 T 4.

Если записать такое уравнение для белого карлика и для Солнца и вычислить их отношение, получим

⎛ R

T

белого карлика ⎞ 2

⎛ белогокарлика ⎞4

1=

=

⎜

⎟

⎜

⎟.

⎝ R

T

Солнца

⎠

⎝ Солнца ⎠

Отношение температур нам известно: белый карлик в 10 раз жарче

Солнца.

Извлечем квадратный корень из обеих сторон и решим уравнение для

R

; получим белого карлика

R

= R

10–2 = 7 105 км/100 = 7000 км.

белого карлика

Солнца

Белый карлик примерно того же размера, что и Земля.

42. На орбите вокруг белого карлика

42. аНьютоновская форма третьего закона Кеплера гласит, что для орбит вокруг тела массы М период обращения Р связан с радиусом орбиты а следующим образом:

3

2 ∝ a

P

.

M

Тогда отношение периода обращения космического челнока и по орбите вокруг белого карлика составит

2

P

⎛ 3 a

⎞ ⎛ 3 белого карлика белого карлика a

⎞

M

= ⎜

⎟

Земли

/

=

⎜

⎟

Земли

,

2

P

M

M

M

Земли

⎝ белогокарлика ⎠ ⎝ Земли ⎠

белого карлика

214

Решения где мы использовали равенство радиусов орбит, поэтому сократили их отношение.

Решив это уравнение для орбиты вокруг белого карлика, получаем

M Земли

6 × 24

10 кг

−

P

P

90 мин

90 мин

3 10,

белого карлика = Земли

=

=

×

×

6

M

2 × 30

10 кг белого карлика

60 с

−

P

= 90 мин×

×1,7 ×

3

10

9 с,

белого карлика

=

1мин где мы опирались на полезный факт, что 60 1,7 100.

Есть и трудный способ решения этой задачи: применить третий закон

Кеплера, не ссылаясь на пропорциональность, и вычислить нужные величины во всей их красе. Попробуем это сделать — для полноты картины и чтобы показать, что и это можно проделать без калькулятора. Ньютоновская форма третьего закона Кеплера выглядит так:

3

R

P

= 2π

белого карлика.

белого карлика

GM белогокарлика

Подставив числа и внимательно проследив за размерностью, получим

(6,4×10 м)3

6

P

= 6×

=

белого карлика

⎛ 2

10

−

3 2

−

1

⎜

10 м с кг− ⎞

×

⎟(

30

2×10 кг)

⎝ 3

⎠

240 × 18 3

= ×

10 м

6

,

20 3 −

1,3 ×

2

10 м с

P

6

1,8 с 9 с.

белого карлика =

×

=

Ответ получился тот же, однако арифметика была потруднее (хотя мы все равно обошлись без калькулятора!)

42. bАстронавты в таком космическом корабле, несомненно, ощутят невесомость. Они вращаются по орбите вокруг белого карлика вместе со

215

Решения своим кораблем. И астронавты, и корабль находятся в состоянии свободного падения вокруг белого карлика, причем падают вместе и с одной и той же скоростью (поскольку они падают на белый карлик с той же скоростью, с какой белый карлик закругляется и его поверхность уходит от них). Нет никакой разницы между ускорением космического корабля, астронавтов и всего, что находится в корабле. Поэтому нет никакой результирующей силы, которая подталкивала бы астронавтов к полу или стенам корабля, и они ощущают невесомость.

43. Поглощение водорода

43. аПервым делом нужно найти длины волн линий поглощения. Мы нашли следующие длины волн, соответствующие нижним точкам (то есть центрам) линий поглощения:

370,5 нанометров (нм), 371,0 нм, 372,1 нм, 373,4 нм, 377,0 нм, 379,7 нм, 383,5 нм, 388,8 нм, 393,3 нм, 396,9 нм, 410,1 нм, 434,0 нм, 486,0 нм, 656,3 нм и 687,1 нм.

Линия на 687,1 нм не имеет отношения к водороду; эта линия вызвана водяным паром, содержащимся в земной атмосфере. Теперь нужно обратить внимание на подсказку, что в этом списке есть — линия (для которой m =

= n + 1). Отталкиваясь от заданной формулы для длины волны, вы можете убедиться, что это линия, у которой самая большая длина волны, то есть

656,3 нм, и эта величина (после некоторых алгебраических преобразований) должна быть равна

1 n ( n +)2

2

1

λ

.

наибольшая = R (2 n +)1

Подобно тому как самая большая длина волны соответствует m = n + 1

(минимальному из возможных значений m), самая маленькая возможная длина волны соответствует очень большому значению m. И в самом деле, 216

Решения если m бесконечно велика, то

= n2/ R . Мы можем оценить

,

наименьшая наименьшая отметив, что линии поглощения по мере уменьшения длины волны становятся все чаще, и предел, к которому они сгущаются, находится поблизости от

370 нм.

наименьшая

Рассмотрим отношение между этими двумя длинами волн (отметим, что при этом R сокращается, что прекрасно, поскольку мы еще не знаем ее значения). Наблюдаемое отношение равно 1,77. Теоретически отношение равно

λ

n ( n +)2

1 / (2 n +)1/ R ( n +)2

2

1 наибольшая =

=

.

λ

2 n / R

2 n 1 наименьая

+

Для n = 1 это отношение равно 4/3 = 1,33.

Для n = 2 это отношение равно 9/5 = 1,80.

Для n = 3 это отношение равно 16/7 = 2,29.

Для n = 4 это отношение равно 25/9 = 2,78.

Для n = 5 это отношение равно 36/11 = 3,27.

Наблюдаемое отношение равно 1,77, что близко к значению для n = 2 из этого списка. Теперь мы можем решить уравнение для R , посмотрев на

— линию, для которой n = 2, а m = 3:

36 / 5

−

R =

= 1,097 × 7 1

10 м,

656,3 нм где мы перевели нанометры в метры. Теперь вычислим ожидаемые значения длины волны для разных значений m.

n m

(нм)

(нм)

вычисленная наблюдаемая

2

3

656,3

656,3

2

4

486,2

486,0

2

5

434,1

434,0

2

6

410,2

410,1

217

Решения n m

(нм)

(нм)

вычисленная наблюдаемая

2

7

397,0

396,9

2

8

388,9

388,8

2

9

383,6

383,5

2

10

379,8

379,7

2

11

377,1

377,0

2

12

375,0

374,9

2

13

373,5

373,4

2

14

372,2

372,1

2

15

371,2

371,0

2

16

370,4

370,5

Вычисленные и наблюдаемые длины волн и правда совпадают практически идеально! В теории последовательность можно продолжать до m =, и тогда линии будут ложиться все теснее и теснее, но у этого спектра для такого не хватит разрешения. Этой закономерности не следуют только две линии из нашего списка: 681,7 нм, которая соответствует водяному пару в атмосфере Земли, и 393,3 нм, которая соответствует кальцию в атмосфере звезды (на самом деле здесь есть и вторая линия кальция, почти точно совпадающая с линией водорода m = 7). Обратите внимания, что форма линий кальция отличается от линий водорода, и это один из способов их различать.

Серия водорода n = 2 называется серией Бальмера в честь ученого, который первым ее описал. Есть и другие серии, соответствующие другим значениям n: серия Лаймана (n = 1) лежит в области далекого ультрафиолета, серия Пашена (n = 3) — в ближнем инфракрасном диапазоне и так далее.