Нил Тайсон - Добро пожаловать во Вселенную

39. Сравниваем звезды

39. аСоотношение между пиковой длиной волны и температурой поверхности —

2,9 мм

λ =

.

пика

T

209

Решения

Для температуры 3 104 К это дает 1 10–4 мм с точностью до одной значащей цифры. В одном миллиметре 1000 микрон, поэтому длина волны равна 0,1 микрона. Это 1000 ангстрем, а такие длины волн относятся к ультрафиолетовой части спектра.

39. bЗдесь мы понимаем, что светимости этих звезд заданы формулой светимости абсолютно черного тела:

L

= 4 R 2

T 4

,

О-звезды

О-звезды

О-звезды

L

= 4 R 2

T 4

.

красного гиганта красного гиганта красного гиганта

Чтобы подобраться к отношению радиусов звезд, вычислим отношение двух этих выражений. При этом многие величины сократятся, и останется

2

4

L

⎛ R

⎞ ⎛ T

⎞

красного гиганта красного гиганта красного гиганта

= ⎜

⎟ ⎜

⎟.

L

⎜ R

⎟ ⎜ T

⎟

О-звезды

⎝

О-звезды

⎠ ⎝ О-звезды ⎠

Если выразить отсюда отношение радиусов, получим

1/2

2

R

⎛ L

⎞

красного гиганта красного гиганта

⎛ T

⎞

О-звезды

= ⎜

⎟ ⎜

⎟.

R

⎜ L

⎟ ⎜ T

⎟

О-звезды

О-звезды красного гиганта

⎝

⎠ ⎝

⎠

Мы знаем отношение светимостей: оно равно 16. Отношение температур равно 30 000/3000 = 10. Тогда находим

R красногогиганта =(16)1/2 2

×10 = 400.

R О-звезды

39. сЯркость этих двух звезд связана с расстояниями до них (которые мы хотим узнать) и их светимостью (о которой мы кое-что знаем): L красногогиганта b

=

красного гиганта

2

4 d

π красногогиганта

L О-звезды b

=

О-звезды

2

4 d

π

.

О-звезды

210

Решения

Но нам дано, что b

= b

Тогда мы можем приравнять красного гиганта

О-звезды эти два выражения и выразить расстояние до красного гиганта: L красногогиганта

L О-звезды

=

.

2

2

4 d

π

4 d

π

красного гиганта

О-звезды

Немножко алгебры, и получим 1/2

⎛ L

⎞

красного гиганта d

= d

⎜

⎟ = 1000 световых лет× 16 =

красного гиганта

О-звезды ⎜ L

⎟

О-звезды

⎝

⎠

= 4000 световых лет.

40. Жаркие и сияющие

40. аСветимость сферического абсолютно черного тела с температурой поверхности Т и радиусом R пропорциональна R 2 T 4, как гласит закон

Стефана — Больцмана. Тогда отношение светимостей

L

⎛ R

⎞2 ⎛ T

⎞4

Солнца = ⎜ Солнца ⎟ ⎜ Солнца ⎟.

L

R

T

Юпитера

⎝ Юпитера ⎠ ⎝ Юпитера ⎠

Обратите внимание, что сначала мы вычисляем отношение радиусов, а потом возводим его в квадрат. Аналогичным образом мы сначала вычисляем отношение температур, а потом возводим его в четвертую степень. Это существенно упростит арифметику. Подставим числа и получим

4

L

(10)2

Солнца

⎛ 6000 К⎞

=

= 100 × 4

30 = 8 × 7

⎜

⎟

10

L

200 К

Юпитера

⎝

⎠

с точностью до одной значащей цифры. Ух ты, Солнце превосходит Юпитер по светимости почти в 100 миллионов раз!

Закон Вина подсказывает, на какой длине волны наблюдается пик излучения Юпитера:

0,29 см 0,29 см

−

λ =

=

= 1,5×

3

10 см 15 микрон.

пика

=

T

200

211

Решения

Это свет в инфракрасной части спектра.

Наши глаза не воспринимают инфракрасный свет, однако Юпитер прекрасно видно ночью невооруженным взглядом. То, что мы видим, не свет, излучаемый самой планетой, а свет Солнца, отраженный ее поверхностью.

Оказывается, общая светимость отраженного света и светимость чернотельного излучения самого Юпитера примерно сопоставимы.

40. bЭта задача похожа на часть а), и мы будем решать ее так же. Радиус — это половина диаметра, то есть 7000 км. Отношение светимостей равно

L

⎛ R белогокарлика ⎞2 ⎛ T ⎞4 ⎛ 7000 км ⎞2 ⎛ 40000 К⎞4 белого карлика =

БК

≈

=

⎜

⎟ ⎜

⎟

⎜

⎟ ⎜

⎟

L

R

T

700000 км

6000 К

Солнца

⎝

Солнца

⎠ ⎝ Солнца ⎠

⎝

⎠ ⎝

⎠

⎛ 1 ⎞2

=

4

1

⎜

⎟ (7) ≈

⎝

⎠

.

100

4

Хотя белый карлик гораздо меньше Солнца, его светимость меньше всего в 4 раза из-за значительно более высокой температуры. Пиковая длина волны равна 0,29 см 0,29см

−

λ =

=

= 7,5×

6

10 см 0,075 микрона.

пика

=

T

40000

Это ультрафиолетовая часть спектра. Хотя наши глаза не воспринимают ультрафиолетовый свет, такая звезда испускает и достаточно много видимого света, скорее голубого, чем красного, поэтому выглядит голубой.

40. сЭто очень похоже на предыдущие расчеты. Запишем

L

⎛ R

T

красного гиганта ⎞ 2 ⎛ красного гиганта ⎞ 4 красного гиганта = ⎜

⎟ ⎜

⎟.

L

R

T

Солнца

⎝

Солнца

⎠ ⎝

Солнца

⎠

Нам дано, что отношение диаметров (а следовательно, и радиусов) равно 80. Температура поверхности Солнца равна 6000 К, поэтому отношение температур равно 1/2. Тогда получаем

4

L красногогиганта ()2 ⎛ 1

80

⎞

=

×⎜ ⎟.

L

⎝ 2

Солнца

⎠

212

Решения

24 = 16, поэтому

L красногогиганта 8×8×

=

100 = 400,

L

16

Солнца причем мы даже не прикоснулись к калькулятору. По закону Вина пиковая длина волны равна

0,29 см

λ

1 микрон.

пика =

=

3000

Эта длина волны находится в ближней инфракрасной части спектра.

Наши глаза не воспринимают свет с длиной волны 1 микрон, однако не забывайте, что это пик спектра. То есть спектр идет от синих длин волн к красным и инфракрасным. Красные волны дают существенно больше света, чем голубые, поэтому наше зрение воспримет такой объект как красный (вот почему мы называем его красным гигантом!)

41. Белый карлик

41. аЗакон обратных квадратов связывает яркость b , светимость L

и расстояние r следующим образом:

= L

b

.

4π 2 r

Мы можем записать это уравнение отдельно для Солнца и отдельно для белого карлика. Если возьмем их отношение, учитывая, что светимости у них равные, получим

⎛ r

⎞2 белого карлика b

=

Солнца

=

⎜

⎟

16

10.

⎝ r b

Солнца

⎠

белого карлика

Извлечем из обеих частей квадратный корень и решим уравнение для r

, что даст белого карлика r

= 108 r

= 108 а. е.

белого карлика

Солнца

213

Решения

В одном световом годе 60 000 а. е., поэтому находим, что r

= 1700 св. лет.

белого карлика

41. bНам известно, что у белого карлика такая же светимость, как у Солнца. Кроме того, мы знаем, что светимость абсолютно черного тела связана с радиусом и температурой: