Нил Тайсон - Добро пожаловать во Вселенную

Впрочем, на самом деле все не так плохо, как выходит по нашим расчетам, просто потому, что если находишься на орбите, ты сам движешься со скоростью 7 км/с, а для энергии столкновения важна относительная скорость вас и обломка. Если вы движетесь сонаправленно, столкновение пройдет значительно мягче, чем вы только что рассчитали.

188

Решения

Космический мусор на низкой околоземной орбите — самая настоящая проблема: здесь столько спутников, что опасность столкновений становится весьма реальной. Более того, если в результате столкновения спутник разлетается на множество обломков, они сами превращаются в космический мусор, усугубляя проблему. Достаточно яркой иллюстрацией здесь послужит голливудский фильм «Гравитация», где из-за обломков поврежденного спутника гибнет космический телескоп имени Хаббла.

25. Центростремительное ускорение Луны и закон всемирного тяготения

25. аРасстояние от Земли до Луны можно выразить в радиусах Земли, вычислив отношение расстояние от Земли до Луны 384000 км

=

= 60.

радиус Земли

6400 км

Чтобы вычислить скорость Луны на орбите, мы хотим узнать, какое расстояние она проходит за 1 месяц. Луна проходит окружность длиной

2 r , а скорость — это расстояние (то есть эта длина), поделенная на время

( Р = 27,3 суток). Подставим все в формулу и, внимательно следя за размерностью, получим

8

2 r

π

2π×3,84×10 м

3 м v =

=

= 1,02×10.

P

27,3 дней×86400 с / день с

Центростремительное ускорение тела, движущегося по окружности радиусом r со скоростью v , равно v 2/ r , следовательно, v

(1020 м/c)2

2

3

− м ускорение =

=

≈ 2,7×10

.

8

2 r

3,84×10 м с

25. bПрежде всего вспомним, что можно выразить период обращения по орбите через ее окружность 2 r и скорость v : 2 r

P

π

=

.

v

189

Решения

Тогда третий закон Кеплера гласит r 3 ן Р 2,

или

2

3

⎛ 2 r r

π ⎞

∝ ⎜

⎟.

⎝ v ⎠

Небольшое преобразование даст

2

1 v ∝.

r

Сила пропорциональна ускорению v 2/ r , то есть

2 v

⎛ 1⎞⎛ 1⎞ 1

F = m ∝ ⎜ ⎟⎜ ⎟ =.2 r

⎝ r ⎠⎝ r ⎠ r

Таким образом, Ньютон показал, что связь между ускорением и силой в сочетании с третьим законом Кеплера подводит к закону обратных квадратов для силы тяготения.

25. сВ части b) мы нашли, что ускорение тел, падающих на Землю, обратно пропорционально квадрату расстояния от центра Земли: ускорение на поверхности Земли (расстояние до Луны)2

=

=

ускорение на Луне

(радиус Земли)2

2

⎛ расстояние до Луны ⎞

=

.

⎜ радиус Земли ⎟

⎝

⎠

Однако отношение в скобках мы только что вычислили в части а) и знаем, что оно равно 60. Тогда, если верить Ньютону и именно земное тяготение отвечает и за ускорение Луны, и за ускорение яблока, падающего с дерева, ускорение яблока должно быть в 602 = 3600 раз больше, чем ускорение Луны.

Если умножить ускорение Луны, которое мы вычислили, на 3600, получим ожидаемое ускорение свободного падения на поверхности Земли = 2,7 10–3 м/с2 3600 = 9,75 м/с2.

190

Решения

Точно измеренное значение ускорения свободного падения тел (в том числе яблок) у поверхности Земли составляет 9,8 м/с2. Таким образом, относительные значения ускорения Луны и яблока соответствуют прогнозам Ньютона. Наверное, Ньютон очень обрадовался, когда проделал эти вычисления, поскольку они показали, что и падение яблока, и движение

Луны по орбите можно объяснить одним и тем же законом всемирного тяготения.

26. Кеплер о Юпитере

26. аОрбита Европы вокруг Юпитера (очень близкая к идеальной окружности) имеет радиус 6,709 105 км = 6,709 108 м. Переведем это в а. е., разделив на 1,496 108 км/а. е., и получим 4,485 10–3 а. е.

Период обращения Европы составляет 3,551 земных суток (в сутках

86 400 секунд), или 3,068 105 секунд, или, считая 1 год 3,156 107 секунд, получим 0,00972 года.

А теперь вычислим С при помощи обоих наборов единиц измерения: 2

2

2

P

16

−

с

3 годы

C =

= 3,117×10

= 1047×10

.

3

3

3 a м а. е.

Обратите внимание, что все расчеты мы производим с точностью до четырех значащих цифр.

26. bОт нас требуется всего лишь внести в таблицу соответствующие числа для остальных трех спутников. Вот как выглядит таблица с расчетами.

Спутник

Радиус

Период

Период (с)

Р 2/ а 3 (с2/м3)

орбиты (м)

(сутки)

Ио

4,216 108

1,769

1,528 105

3,116 10–16

Ганимед

1,070 109

7,155

6,182 105

3,120 10–16

Каллисто

1,883 109

16,69

1,442 106

3,114 10–16

191

Решения

То есть все четыре спутника Юпитера дают один и тот же результат, как и говорил Кеплер! (Обратите внимание, что числа на третьей десятичной позиции несколько различаются: это объясняется неточностью исходных данных, хотя мы и придерживались четырех значащих цифр).

26. сВ а. е. и годах получается совсем просто! Период вращения Земли вокруг Солнца равен 1 году, а радиус орбиты — 1 а. е., поэтому получаем

С = 12/13 = 1 год2/а. е.3.

26. dМы можем вычислить отношение коэффициентов С в любой системе единиц, ответ будет один и тот же (как и должно быть: отношение не имеет размерности). Проделаем это в единицах лет и а. е., поскольку арифметика будет очень простой:

3

2

3

C Юпитера 1047

, ×10 лет / а. е.

=

= 1047.

2

3

C

1год / а. е.

Солнца

Можем также вычислить отношение масс Солнца и Юпитера: 30

M Солнца 1,989×10 кг

=

= 1047.

27

M

1,898×10 кг

Юпитера

Одно и то же число! Почему? Потому что это следует из ньютоновской формы третьего закона Кеплера:

2 3

2

4π a

P =

.

GM

Видно, что то, что мы называли коэффициентом С , на самом деле

42/( GM ), где М — масса центрального объекта, вокруг которого мы вращаемся по орбите. Разумеется, для спутников Юпитера и для Земли, вращающейся по орбите, центральная масса будет разной. Значение С обратно пропорционально массе этого центрального тела, поэтому отношение коэффициентов С для орбит вокруг Юпитера и Солнца должно быть таким же, как отношение масс Солнца и Юпитера, что мы и обнаружили.

192

Решения

27. Нептун и Плутон

27. аЭто простое приложение третьего закона Кеплера для движения по орбите вокруг Солнца: Р (в годах) = а 3/2 (в а. е.) Для а = 30,066 а. е. это даст (да, мы посчитали на калькуляторе) 164,86 лет. Мы дали ответ с точностью до пяти значащих цифр, такой же, с какой нам задали значение большой полуоси.

27. bТе же расчеты для Плутона дают 248,1 год с точностью до четырех значащих цифр.