Нил Тайсон - Добро пожаловать во Вселенную

/ r 2 будет

Земли ощущаться всегда.

23. Геосинхронные орбиты

Вот еще одно применение третьего закона Кеплера: у нас есть период

(24 часа) и мы хотим найти радиус орбиты. Однако обратите внимание, что теперь это не орбита вокруг Солнца, поэтому третий закон Кеплера в изначальной форме нам не годится. Нам нужно применить ньютоновскую форму этого закона:

2

3

GM P

a

⊗

=

.

2

4π

В этом расчете следует придерживаться единиц МКС. M = 6,4 1024 кг —

это масса Земли, G = 2/3 10–10 м3 с–2 кг–1 — это постоянная Ньютона, а период — 1 сутки, которые мы примем приближенно равными 90 000 секунд. Тогда

2

10

−

3 2

−

1

−

24

9 2

×10 м с кг ×6×10 кг×8×10 с

3

3 a =

,

40 где мы приняли 2 10. Подсчитав все это, получим а 3 = 8 1022 м3.

184

Решения

Пока что мы обходились без калькулятора. Но как извлечь кубический корень без калькулятора? Вообще-то мы знаем, что 8 1022 = 80 1021, а кубический корень из 1021 равен 107. Кроме того, мы знаем, что 43 = 64, а 53 = 125, так что кубический корень из 80 — это чуточку больше 4. Поэтому с точностью до одной значащей цифры получаем а = 4 107 м = 40 000 км.

И все? Нет: нас просили указать расстояние от поверхности Земли, а полученная величина — это расстояние от центра Земли. Поэтому нам нужно вычесть из 40 000 радиус Земли, равный 6400 км, и останется примерно 34 000 км. А еще нас просили выразить это число в радиусах Земли: если поделить его на 6400 км, получится чуть больше 5 радиусов Земли.

Если мы повторим вычисления с точными значениями массы Земли, G

и (и с калькулятором), то получим расстояние в 35 900 км от поверхности

Земли, или 5,63 радиусов Земли.

Есть и другой способ решения этой задачи. Для этого вспомним, что третий закон Кеплера можно записать в виде а 3 = Р 2/ М ,

где а выражается в а. е., Р — в годах, а М — в массах Солнца. Преимущество этой формулы в том, что можно не искать значения G и, однако здесь придется проделать дополнительную работу по переводу всех наших чисел в эти единицы (которые здесь не очень удобны).

Есть и третий способ решения — наш любимый. Мы знаем, что спутники на низких околоземных орбитах имеют период обращения около 90 минут.

Радиус их орбиты — практически равен радиусу Земли, то есть составляет около 6400 километров. Третий закон Кеплера гласит, что для орбит вокруг общего небесного тела а ן Р 2/3, то есть

2/3 а

⎛ 24 часа

ГЕО

⎞

2/3

=

= 16.

6400 км ⎜ 90 минут ⎟

⎝

⎠

185

Решения

Здесь мы вынуждены взять калькулятор:

а = 6,3 6400 км = 40 000 км

ГЕО

с точностью до одной значащей цифры.

24. Центростремительное ускорение и кинетическая энергия на орбите Земли

24. аРешим задачу обоими способами. Мы знаем, что период связан с орбитальной скоростью формулой Р = 2 r / v . Если подставить это выражение в третий закон Кеплера, получим

2

2

3

4π GM ⊕ r r =

.

2 2

4π v

Сократив общий множитель 42 и решив уравнение для v , получим

GM

v

⊕

=

.

r

Теперь пойдем альтернативным путем — начнем с законов Ньютона.

Сила, действующая на спутник массы m , задается законом всемирного тяготения Ньютона: GM m / r 2 . Она равна произведению массы спутника на

ускорение, а последнее задается обычной формулой для кругового движения v 2/ r . Приравниваем оба выражения и получаем

2 v

GM ⊕ m m =

.

2 r r

Сокращаем общий множитель m и еще раз решим уравнение для v ; тогда

GM

v

⊕

=

.

r

24. bМы можем воспользоваться только что выведенной формулой для скорости. Сложность только в одном: как вычислить нужный радиус.

Высота спутника над земной поверхностью равна 850 км, но здесь считает-

186

Решения ся расстояние от центра Земли, до которого еще 6400 км. Так, мы задаем r = (6400 + 850) км 103 м/км = 7 106 м с точностью до одной значащей цифры. Подставим числа и получим

2

10

−

3 2

−

1

−

24

×10 м с кг ×6×10 кг

2

GM ⊕

3

1

8 м v =

=

≈

×10

≈ 7000 м / с.

6

2 r

7×10 м

2 с

Спутник двигался со скоростью 7 км/с — очень быстро!

Каков же период его обращения? Можно было бы снова обратиться к третьему закону Кеплера, но есть и более прямой путь проделать эти вычисления, если вспомнить, что период — это расстояние, которое спутник проходит по орбите за один оборот, поделенное на его скорость: 6

2 r

π

2π×7×10 м

P =

=

≈ 6000 с,

3 v

7×10 м / с то есть около 100 минут. Спутник на низкой околоземной орбите совершает один оборот примерно за полтора часа (точное значение зависит от конкретной высоты над поверхностью Земли).

24. сЭта задача проста: масса — это объем, умноженный на плотность.

Надо лишь тщательно следить за размерностью:

1 см г

1 кг

2 m V

10 см 10 см 2 мм

2,7

5 10−

= ρ =

×

×

×

×

×

≈ ×

кг.

3

3

10 мм см 10 г

То есть около 50 граммов, или 2 унций, с точностью до одной значащей цифры (учитывая приблизительно заданные габариты, более точный ответ здесь неуместен).

24. dКинетическая энергия тела массы m , движущегося со скоростью v , равна

1 2

KE = mv . Массу мы вычислили в части с), а скорость — в части b), 2 так что теперь все просто:

КЕ = 0,5 5 10–2 кг (7 103 м/с)2 106 Дж

187

Решения с точностью до одной значащей цифры. Следующая задача наглядно покажет, что означает такое количество энергии.

24. еВ условиях задачи содержится подсказка: нам советуют вычислить отношение энергий. Когда вычисляешь отношение, некоторые величины часто сокращаются, что убережет нас от лишних хлопот с арифметикой.

Кинетическая энергия тела массы m , движущегося со скоростью v , равна

1 2 mv (это энергия столкновения), а взрывная энергия той же массы ТНТ

2равна mp , где p = 4,2 106 джоулей на килограмм — это взрывная энергия на килограмм. Отношение этих величин выглядит вот так: 1 2 mv

2

2

1 v

=

.

mp

2 p

Когда мы подставим в нее числа (взяв v из части b), внимательно следя за размерностью, получим

1

(7×10 м/ с)2

3

7

0,5×5×10

=

≈ 6.

6

2

2

6

2 4,2×10 кг м / с / кг

4,2×10

Во-первых, обратите внимание, что масса сократилась — ответ не зависит от результата части с). Во-вторых, обратите внимание, что мы сделали с единицами: мы подставили определение джоуля, и все единицы сократились (как и должно быть, когда получаешь осмысленное отношение). Наконец, полюбуйтесь ответом: столкновение с куском космического мусора высвобождает примерно в 6 раз больше энергии, чем эквивалентное количество ТНТ! Неудивительно, что проблема космического мусора стоит так остро!