Нил Тайсон - Добро пожаловать во Вселенную

В этих вычислениях мы не стали учитывать темное вещество в галактиках. Включение темного вещества увеличивает массу Млечного Пути примерно до триллиона солнечных масс, но и эта оценка не учитывает темное вещество, ассоциированное с маломассивными галактиками. Самая точная на сегодняшний день оценка полной плотности Вселенной, включающая темное вещество и темную энергию, примерно в 100 раз больше нашего результата, то есть около 10–29 г/см3.

Получить интуитивное представление о том, как мала эта плотность, можно, если вычислить радиус шара такой плотности, который содержит массу, равную массе одного атома водорода, и радиус шара той же плотности, содержащей массу одного человека.

Шар плотности с радиусом r имеет массу (4/3) r 3. Мы должны решить это уравнение относительно r в двух случаях: найти объем, содержащий массу одного атома водорода, и объем, содержащий массу человека.

Давайте посчитаем, приближенно приняв = 3. Сначала найдем массу атома: 4 r 3 10–31 г/см3 = 1 10–23 г.

6

Обратите внимание, как мы переписали массу атома: вероятно, вы узнали число Авогадро.

3

1

2

− 3+31

3

6

3 r = ×10 см ≈ 4×10 см.

24

281

Решения

Можем ли мы извлечь кубический корень без калькулятора? Да, если нам достаточно ответа с точностью до одной значащей цифры. Кубический корень из 4 — это где-то между 1,5 и 2, давайте округлим до 2. А кубический корень из 106 — это просто 100. Таким образом, диаметр шара равен около

200 см, то есть 2 м. Большой объем для одного атома!

Теперь посчитаем то же самое для массы 80 килограммов, или 8 104 граммов. Формула та же:

4 r 3 10–31 г/см3 = 8 104 г,

r 3 = 2 1035 см3.

Перепишем это как 200 1033 см3. Кубический корень из 200 — около

6, поэтому окончательный ответ r = 6 1011 см.

Помните, что в километре 105 см, поэтому радиус шара с плотностью, которую мы вычислили, и массой, равной массе человека, равен 6 106 км —

примерно в пять раз больше диаметра Солнца!

72. Сжимаем Млечный Путь

Получить приблизительный ответ можно следующим образом. Представим себе, что каждая звезда размером с Солнце и ее радиус r

=

звезды

= 700 000 км. Это грубое приближение, поскольку звезды с меньшей массой, а следовательно, и радиусом распространены во Вселенной несколько больше, чем звезды с параметрами Солнца, но пока пренебрежем этими подробностями. Мы помещаем все звезды в шар плотностью, равной плотности одной звезды. Плотность — это масса, деленная на объем, поэтому запишем:

плотность одной звезды = плотность шара из звезд,

масса одной звезды масса шара из звезд

=

,

объем одной звезды объем шара из звезд

282

Решения

11

M

1,5×10 M

звезды звезды

=

.

4 3

4 3 r

π

r

π

звезды шара

3

3

Решим это уравнение для радиуса шара звезд и получим r = r

(1,5 1011)1/3.

шара звезды

Мы можем сделать это приближенно даже без калькулятора, если запишем 1,5 1011 = 150 109. Мы понимаем, что 150 — это немного больше

125, то есть 53, поэтому с правомерным приближением получим r = 700 000 км 5 103 = 3,5 109 км.

шара

В одной астрономической единице 1,5 108 км, так что получается около 23 а. е. То есть, если бы мы сжали все звезды в Млечном Пути в шар, в котором звезды лишь соприкасаются, этот шар не дошел бы даже до орбиты Нептуна вокруг Солнца. Это в очередной раз напоминает нам, как огромно межзвездное пространство по сравнению с размерами самих звезд.

Обратите внимание, что мы пренебрегли промежутками, которые образуются, когда складываешь сферы. Погрешность, вызванная этим допущением, меньше, чем неопределенность, вызванная различиями в размерах звезд и приближениями при подсчете их общего числа во Вселенной.

В этой задаче есть и еще одна тонкость. Радиус черной дыры данной массы ( радиус Шварцшильда ) пропорционален ее массе. Радиус Шварцшильда для Солнца примерно равен трем километрам, поэтому радиус

Шварцшильда для 1,5 1011 солнечных масс равен

11

1 а. е.

3 км×1,5×10 ×

= 3000 а. е.

8

1,5×10 км

То есть такой шар из звезд меньше радиуса Шварцшильда для черной дыры соответствующей массы. А из этого следует, что если мы каким-то образом умудримся собрать вместе подобную группу звезд, она мгновенно коллапсирует в черную дыру. Правда, круто?

283

Решения

73. Рождение звезды

Нам нужно узнать, какой объем межзвездного пространства вмещает массу газа и пыли, сопоставимую с массой звезды. Масса объема V — это произведение этого объема и плотности, поэтому можем записать

ρ =;

M

V M

V =.

ρ

И масса (1 масса Солнца), и плотность нам известны, поэтому мы можем вычислить

30

2×10 кг

2

50 3

V =

= ×10 м.

20

−

3

3×10 кг / м

3

Чтобы понять, какой это огромный объем, определим радиус сферы соответствующего объема:

4 3 2

50 3 r

π = ×10 м

3

3 то есть

1/3

51

10 r ⎛

⎞

= ⎜

⎟ м,

⎝ 60 ⎠

где мы приближенно приняли 2 = 6 и переписали дробь так, чтобы арифметическая задача стала для нас простой. В частности, обратите внимание, что кубический корень из 1051 = 1017. Более того, 60 близко к 64 = 43.

Поэтому извлечь корень будет несложно:

17

10

16 r ≈

метра = 2,5×10 метров.

4

Помните, что в одном световом годе около 1016 метров, так что это 2–3 световых года. Звезда вроде Солнца сформировалась из газа, который когда-то был распределен по объему в несколько световых лет в поперечнике.

На самом деле звезды, как правило, формируются не из газа со средней плотностью межзвездной среды, а из относительно плотных молекулярных

284

Решения облаков, которые так названы, поскольку газ в них в основном имеет молекулярную форму (самые распространенные в таких облаках молекулы — Н, 2

СО и Н О).

2

74. Массивная черная дыра в центре Млечного Пути

74. аЗдесь нужно просто применить малоугловую формулу. Нам надо найти длину отрезка s , который противолежит углу = 0,1 угловой секунды на расстоянии d от центра Млечного Пути (то есть 8 килопарсек). Малоугловая формула гласит, что эта длина равна s = d = 8000 парсек 0,1 угловой секунды.

Здесь вам, вероятно, стало интересно, когда пора переводить угловые секунды в радианы. Но помните, что по определению парсека малоугловая формула работает для в угловых секундах, d в парсеках и s в а. е. Поэтому, если мы выполним арифметические расчеты как есть, то получим ответ в а. е.

Тогда ответ гласит, что большая полуось равна 800 а. е. или, поскольку одна а. е. равна 1,5 108 км, получаем 1,2 1011 км.

74. bВспомним формулу, связывающую скорость на орбите v , радиус r и массу центрального объекта М :