Нил Тайсон - Добро пожаловать во Вселенную

76. сЕсть два способа найти массу. Можно просто воспользоваться формулой для М (< r ) в том виде, в каком мы вывели ее в части а), задав в качестве верхнего предела радиуса половину расстояния между галактиками, то есть 1 миллион световых лет:

(×

)

16

2

5

6

10 м

2,2 10 м / с ×10 св. лет×

2 v r

1 св. год галактики галактики

M

<

=

галактики

G

2

10

−

3 2

−

1

×10 м с кг−

3

3

10+6+16+10

42

= 5× ×10 кг = 7×10 кг.

2

Знак < (меньше) в этой формуле означает, что это верхний предел, который получается если предположить, что компонента гало Млечного Пути, состоящая из темного вещества, и в самом деле простирается на миллион световых лет.

289

Решения

Одна масса Солнца равна 2 1030 кг, поэтому окончательный ответ выглядит так: масса равна 3,5 1012 масс Солнца, то есть 3,5 триллиона масс Солнца. Почти вся эта масса — темное вещество.

Второй способ вычислить нужную величину — взять за масштаб Солнечную систему: Земля вращается вокруг Солнца со скоростью 30 км/с на расстоянии 1 а. е. Можно применить ту же формулу, чтобы вывести массу

Солнца:

2 v r

Земли Земли

M

=

.

Солнца

G

Взяв отношение этого выражения к формуле для Млечного Пути в целом, получим

2

2

6

16

M

⎛ v

⎞ r

⎛ 220 ⎞ 10 св. лет×10 м / св. год галактики галактики галактики

<

=

⎜

⎟

⎜

⎟

11

M

v r

⎝ 30 ⎠

1,5×10 м

Солнца

⎝ Земли ⎠ Земли

2

7

11

=

×10.

1,5

Таким образом, М

= 3 1012 М

Наш ответ несколько отлигалактики

Солнца чается от предыдущего только из-за погрешностей при округлении.

На самом деле это значение — несколько завышенная оценка подлинной массы Млечного Пути: предположение, что гало темного вещества доходит до полпути к галактике Андромеда, ошибочно. Есть и другой способ оценить массу Млечного Пути, если учесть, что Млечный Путь, галактика Андромеда и множество галактик-спутников меньшего размера вращаются под воздействием взаимного гравитационного влияния. Измерив их движение, можно сделать вывод, что общая масса Млечного Пути — около 1 1012 масс Солнца, то есть в три раза меньше. Тогда мы имеем право заключить, что гало темного вещества вокруг нашей Галактики простирается примерно на 1/3 рассмотренного радиуса в миллион световых лет, то есть примерно на 300 000 световых лет.

290

Решения

77. На орбите вокруг Галактики

77. аНам дана угловая скорость (1 10–3 угловых секунд в год), а надо вычислить линейную скорость, учитывая, что БМО находится на расстоянии

1,5 105 световых лет от нас. Эта задача на перевод единиц и применение малоугловой формулы.

3

− угловых секунд

1 радиан

5

1×10

×

×1,15×10 св. лет×

5 год

2×10 угловых секунд

13

10 км

9

×

= 7,5×10 км / год.

1 св. год

Переведем в километры в секунду и получим

9

1 год

7,5×10 км / год×

= 250 км / с.

7

3×10 с

Таким образом, БМО вращается вокруг Млечного Пути со скоростью, сопоставимой с орбитальной скоростью Солнца (220 километров в секунду), хотя находится гораздо дальше. Как описано в «Большом космическом путешествии», Млечный Путь (и большинство спиральных галактик) обладают плоскими кривыми вращения, при которых скорость вращения мало зависит от расстояния от центра, что отражает существование массивного гало темного вещества. Это показывает, что гало Млечного Пути простирается по меньшей мере на 150 000 световых лет.

77. bЛегкий способ это сделать — вспомнить, что орбита делится на 360° = 360 3600 угловых секунд. Тогда на обход полного круга нужно

360×3600 угловых секунд

9

= 1,3×10 лет.

3

1×10− угловых секунд / год

Есть и другой способ: вычислить длину окружности и поделить на скорость. Это потребует гораздо больше усилий, но даст верный ответ.

Обратите внимание, что этот период обращения гораздо продолжительнее времени, за которое Солнце совершает полный оборот вокруг Млечного

291

Решения

Пути (250 миллионов лет). БМО движется по орбите примерно с такой же скоростью, но расстояние, которое ему нужно пройти, чтобы сделать круг, значительно больше.

77. сСамый простой способ — взять за масштаб эквивалентный результат для 25 000 световых лет, радиуса орбиты Солнца. Радиус орбиты БМО в шесть раз больше, а период обращения — в пять раз длиннее.

Масштаб для массы задается третьим законом Кеплера а 3/ Р 2, что дает нам множитель 63/52 = 8. Таким образом, масса Галактики на масштабе до БМО

в восемь раз больше, чем в пределах орбиты Солнца, то есть, 8 1011 М

.

Солнца

Обратите внимание, что эту задачу можно решить и с применением

Ньютоновой формы третьего закона Кеплера, но это потребует гораздо больше усилий.

Возникает искушение подойти к ней и с другой стороны — предположить, что плотность Млечного Пути постоянна, а тогда масса пропорциональна объему. Но это неверное предположение: плотность Млечного Пути с расстоянием от центра резко падает (см. задачу 76.b).

78. Как обнаружить темное вещество

78. аКак вычислить массу сферической оболочки, мы знаем: ((

))

() 2 v ( r r )

2 v r v 2

+ Δ

r

M

r r

M

r

Δ

< + Δ −

< =

−

=

.

G

G

G

Объем оболочки равен площади ее поверхности, 4 r 2, умноженной на толщину r . Таким образом, плотность — это масса, деленная на объем: 2

2 v r

Δ

1 v

ρ =

=

.

2

2

G 4 r

π r

Δ

4 r

π G

Толщина оболочки при вычислениях сократилась.

78. bПодставим числа, последовательно переведя все в единицы МКС: v

(220 км/с×10 м/км)2

3

2

ρ =

=

.

2

4 r

π G 4π(25000св. лет×10 м/св. год)2

16

2

10

−

3

2

× ×10 м / с кг

3

292

Решения

Приближенно примем = 3, а 22 = 25; есть еще множитель 4 2 в знаменателе, который мы примем равным 10. Это все упрощает, и, собрав степени 10, мы получаем

= 10–21 кг/м3.

Нас просят выразить это в граммах на кубический сантиметр. В одном килограмме 1000 граммов. А в одном метре 100 сантиметров, так что в одном кубическом метре 106 кубических сантиметров. Получаем плотность

10–24 г/см3. Поразительно низкая плотность!

78. сМасса протона в граммах с очень хорошим приближением равна

1/6 10–23 грамма. Эйнштейн учит нас, что это эквивалентно энергии mc 2, или

1

E = ×10− г×(3×10 см / с)2

23

10

3

3

= ×10− эрг.

6

2

Перевод в электроновольты означает, что эту величину надо поделить на 1,6 10–12 = 1/6 10–11 эВ/эрг, что даст нам

8

E = 9×10 eV,

или 0,9 ГэВ (где гигаэлектроновольт ГэВ равен 109 эВ). Если мы воспользуемся калькулятором, то с точностью до второй значащей цифры получим