Нил Тайсон - Добро пожаловать во Вселенную

2

GM

v =

.

r

Однако в данном случае у нас есть период обращения по орбите; перепишем уравнение, учтя, что v = 2 r / P : 2

⎛ 2 r

π ⎞

GM

⎜

⎟ =

.

⎝ P ⎠

r

Решим уравнение относительно М и получим:

2 3

4π r

M =

.

2

P G

285

Решения

Мы только что вывели ньютоновскую форму третьего закона Кеплера.

Теперь, как обычно, можно было бы подставить в нее все числа и перевести все в соответствующие единицы. Но есть и более простой способ: вспомним, что мы можем записать в точности то же самое уравнение для орбиты Земли вокруг Солнца (где Р = 1 год, а r = 1 а. е.). Если теперь взять отношение двух уравнений, многое сократится, единицы станут проще, и мы выведем куда более простую формулу:

3

2

M вцентреМП ⎛ 800 а. е. ⎞ ⎛ 1 год ⎞

=

×

.

M

⎜ 1а.е. ⎟ ⎜ 11,5 лет ⎟

Солнца

⎝

⎠ ⎝

⎠

Поглядим, что получается. 8003 5 108, а 11,52 130, тогда

8

M вцентреМП 5×10

6

=

≈ 4×10.

M

130

Солнца

Обратите внимание, что мы автоматически получили результат в желаемых единицах, то есть в массах Солнца. Мы обнаружили, что центральная масса, вокруг которой вращается звезда, имеет массу в 4 миллиона раз больше солнечной. Ничего себе!

74. сПлотность — это масса, деленная на объем. Предположим, что объект сферичен, тогда его максимально возможный объем — это объем сферы радиусом 45 а. е. А массу мы только что вычислили в части b). Тогда минимально возможная плотность (то есть ее нижний предел) — это отношение массы к максимально возможному объему. Посчитаем. Никаких хитростей, которые позволили бы нам сэкономить время, здесь нет, мы хотим получить результат в граммах на кубический сантиметр, поэтому придется преобразовывать единицы:

6

33

M

4×10 M

×4×10 г / M

Солнца олн

С ца

ρ =

=

.

V

4 π(45а.е.×1,5×10 см/а.е.)3

13

3

286

Решения

Мы, как обычно, приближенно принимаем 3. Поскольку 1,53 4 и еще мы запишем 45 100/2, многие числа сократятся, и мы получим

8 106 + 33–45 г/см3 10–5 г/см3.

Не то чтобы эта плотность была ужасно высокой, но любая обычная группа звезд указанной общей массы, упакованная в такой маленький объем, светила бы немыслимо ярко и была бы легко видна в наши телескопы.

Единственное объяснение существования настолько большой и при этом невидимой массы в таком маленьком объеме — черная дыра.

74. dЗвезда на орбите радиусом 100 парсек подвергается гравитационному притяжению всего вещества в сфере внутри этой орбиты. Это вещество включает и черную дыры, и все звезды в этой сфере. Массу черной дыры мы вычислили. Но второй компонент — это около 1000 звезд на кубический парсек в объеме сферы радиусом 100 парсек, поэтому всего получается

1000 звезд/парсек3 4/3 (100 парсек)3 4 103 + 6 = 4 109 звезд.

Или, если предположить, что масса каждой звезды примерно равна солнечной, 4 миллиарда масс Солнца. Масса черной дыры составляет всего 1/1000 этой величины, в сущности, ей можно пренебречь. Цель этого упражнения — дать понять, что если мы хотим измерить массу черной дыры, нужно рассматривать движение объектов поблизости от нее, где эта масса доминирует, а на расстоянии в 100 парсек уже доминирует масса звезд внутри этого радиуса.

Черная дыра в центре Млечного Пути вовсе не уникальна. На самом деле подобные черные дыры находятся в центрах практически всех крупных галактик. Черная дыра в центре Млечного Пути достаточно близка, чтобы можно было измерить орбиты отдельных звезд и сделать выводы о ее массе. У других галактик мы можем наблюдать только суммарный света от множества звезд и опираться на эффект Доплера, чтобы вычислить их среднюю скорость. Однако вывод тот же: в центрах этих галактик тоже находятся черные дыры.

287

Решения

75. Сверхновые и Галактика

75. аДва процента массы Галактики — это 2 109 масс Солнца. Если каждая сверхновая дает 1 солнечную массу тяжелых элементов, речь идет о 2 109 сверхновых.

75. bЕсли частота взрывов сверхновых была постоянной, то следует ожидать, что за 1,4 1010 лет, прошедших после Большого взрыва, взорвалось

1,4 108 лет сверхновых. На самом деле их было раз в десять больше, поэтому темп появления сверхновых в прошлом был заметно выше. Более того, мы пришли к тому же выводу для большинства галактик в ближайшей к нам области

Вселенной. Учитывая, что сверхновая — это взрыв массивной, а следовательно, относительно недавно образовавшейся звезды, мы можем предсказать, что раньше скорость звездообразования в галактиках была значительно выше.

К счастью, мы имеем возможность наблюдать это непосредственно: поскольку скорость света конечна, мы видим далекие галактики такими, какими они были в прошлом, и темп формирования звезд в этих галактиках и в самом деле в среднем гораздо выше, чем в галактиках, находящихся поблизости.

76. Гало темного вещества

76. аРассмотрим звезду массой m и радиусом r , которая вращается по круглой орбите со скоростью v . Ускорение, которое обеспечивает это движение по кругу, равно а = v 2/ r . Это ускорение вызывает определенная сила — гравитационное притяжение вещества, находящегося в пределах радиуса r . Вещество действует так, словно оно все находится в центре, то есть на расстоянии r .

Обозначим массу вещества в пределах радиуса r за М (< r ) и получим

2 v

GM (< r ) m

F = ma = m =

.

2 r r

Нас просят найти массу Млечного Пути в пределах r , поэтому, решив это уравнение относительно М (< r ), получим

(<) 2 vr

M

r =

.

G

288

Решения

Обратите внимание, что результат не зависит от массы звезды m , с которой мы начали. Это часто бывает в задачах на гравитацию: ускорение всех тел в конкретной точке гравитационного поля одинаково. Кроме того, обратите внимание, что при плоской кривой вращения (какую мы наблюдаем у Млечного Пути) масса растет пропорционально радиусу. Это следствие из того, что Млечный Путь окружен массивным гало темного вещества, и чем дальше от центра, тем сильнее ощущается гравитация постоянно увеличивающейся массы. В дальнейшем мы увидим, что из этого следует.

76. bСредняя плотность в пределах радиуса r — это масса, деленная на объем. Рассмотрим сферу радиуса r ; воспользовавшись массой, найденной в части а), получаем

M (< r )

2

2 v r / G

3 плотность v

=

=

=

.

3

2 объем

4 r

π / 3 4 G

π r

Следовательно, хотя масса при удалении от центра растет, объем растет быстрее, и плотность на самом деле падает. Плотность темного вещества при удалении от центра Млечного Пути снижается.