Нил Тайсон - Добро пожаловать во Вселенную

117. gНет, это не то же самое, что большая окружность из части f). Дело в том, что геометрия на сфере отличается от геометрии на проекционном кубе. См. рис. 13. Это прямая линия на развертке карт звездного неба.

117. hЭти углы случайно остались прямыми и на этой гномонической проекции (хотя в целом гномоническая проекция не сохраняет углы). Поэтому сумма углов и в самом деле составит 270°. Однако при проекции на куб у нас не получится непрерывный треугольник. Как мы видели в части

е), когда пересекаешь границу между разными плоскостями проекции, происходят удивительные вещи. В этом случае, когда разворачиваешь куб, чтобы получить развертку с рисунка 13, в треугольнике образуется разрыв — вот почему его углы не подчиняются обычным евклидовым правилам.

118. Доктор Кто во Флатландии

118. аЗдесь нам нужно изучить вершины двух видов: у верхних углов мойки и у нижних. У основания мойки мы видим три плоскости под углом в

90°, которые сходятся в одной точке, что составляет 3/2, а это дает дефект

349

Решения в /2 — положительное значение. У верхнего края мойки у нас получается

270° (= 3/2) на плоскости и 2 90° = для каждой из двух боковых стенок раковины, что в сумме дает угол 5/2. Нам дано, что масса равна 2 радиан минус это суммарное значение 5/2 радиан, то есть, — /2. Таким образом, эти вершины требуют отрицательной массы.

118. b. У нас четыре положительные массы по + /2 и четыре отрицательные массы по — /2. Если сложить, получится нулевая масса!

118. сОбщая масса ТАРДИС равна нулю, поэтому пространство-время вне ТАРДИС не искривляется, а напоминает плоскость. Никакой центральной массы нет, так что внешнее пространство выглядит как бесконечная плоскость, что мы и видим.

119. Короткие вопросы о форме Вселенной

119. аДА. Однако теория Калуцы — Клейна в своей первоначальной формулировке оказалась эквивалентной ОТО и электромагнетизму, поэтому не давала никаких новых предсказаний. Невозможно провести эксперимент, который отличил бы ее от ОТО и электромагнетизма.

119. bЭтим предсказанием было существование фонового космического микроволнового излучения, а это важно, поскольку его предсказывает модель Большого взрыва. Более того, модель Большого взрыва делает целый ряд предсказаний, касающихся природы фонового космического микроволнового излучения, и все они прекрасно совпадают с данными наблюдений:

• его температура;

• его спектр с невероятной точностью совпадает со спектром абсолютно черного тела;

• оно изотропно;

• распределение мощности флуктуаций (крошечных отклонений от полной изотропии) как функции масштаба имеет определенную форму, в точности предсказанную теориями Большого взрыва и инфляции.

350

Решения

119. сВот они.

• Открытая Вселенная: плотность меньше критической. Она будет расширяться вечно и обладает геометрией с отрицательной кривизной.

• Плоская Вселенная: плотность равна критической. Она будет расширяться вечно, но скорость расширения будет асимптотически приближаться к нулю. Такая Вселенная обладает плоской геометрией.

• Замкнутая Вселенная: плотность выше критической. Когда-нибудь она коллапсирует. У нее геометрия с положительной кривизной.

119. dСумма больше 180°. Это криволинейная геометрия, пространственная часть которой представляет собой трехмерный аналог двумерной поверхности сферы. Углы треугольника, как и на поверхности сферы, в сумме дают больше 180°. В открытой Вселенной Фридмана (чей двумерный аналог имеет седловидную форму) углы треугольника в сумме дают меньше 180°.

В отсутствие космологической постоянной массовая плотность открытой модели Фридмана меньше критической, а массовая плотность закрытой модели больше критической. Если плотность равна критической, геометрия остается евклидовой, то есть сумма углов треугольника, как вас учили в школе, равна 180°.

119. еВведение космологической постоянной в уравнения поля ОТО, согласно личному сообщению, о котором рассказывает Георгий Гамов*.

Эйнштейн ввел в уравнения эту постоянную, поскольку иначе из них следовало, что Вселенная либо расширяется, либо сжимается. Если бы он не усомнился в истинности первоначальных уравнений, то предсказал бы, что так и есть. Прошло больше десяти лет, и Эдвин Хаббл открыл, что Вселенная расширяется.

* На самом деле величайшей ошибкой в своей жизни Эйнштейн называл письмо

Рузвельту с настоятельным предложением запустить в США ядерную программу. —

Прим. переводчика.

351

Решения

120. Самый первый миг

120. аДлина волны фотона связана с его частотой соотношением

= с . Но нам также известно, что h = Е = Мс 2. Тогда комптоновская длина волны равна c ch ch h

λ

= =

=

=

.

Комптона

2 v

E

Mc

Mc

120. bПриравняем формулы комптоновской длины волны и радиуса

Шварцшильда:

h

2 GM

=

.

2

Mc c

Преобразования дают

2

2

= 2 hc hc

GM c → M =

.

2 G

Выведенная величина называется планковской массой. Первым эту формулу вывел Макс Планк после того, как примерно в 1900 году нашел постоянную, получившую его имя, при помощи «анализа размерностей».

Идеи ОТО и черных дыр еще даже не зародились в воображении Эйнштейна, до работ Комптона тоже оставалось более десяти лет, поэтому Планк применил другой подход. Он знал, что его постоянная, которую он придумал, чтобы понять природу излучения абсолютно черного тела, — это одна из фундаментальных физических постоянных, наряду со скоростью света и гравитационной постоянной Ньютона. Он понимал, что можно сочетать их таким образом, чтобы получить величину с размерностью массы, и задался вопросом, каков физический смысл этой величины.

Следует упомянуть, что существует несколько разных подходов к определению планковской массы, и самая распространенная включает множитель под квадратным корнем, что дает hc

M

=

Планка

.

2 G

π

352

Решения

Отлично, теперь давайте подставим числа в единицах системы СГС

(сантиметр-грамм-секунда):

2

26

−

2

10

×10 г см / с×3×10 см / с

3

M

=

.

Планка

2

7

−

3

2

2× ×10 см / с / г

3

Величина 2/3 сокращается (то, что и у h , и у G десятичная часть близка к 2/3, — простое совпадение), и остается

26

− +10+7 2

10

−

5

M

1,5 10 г

15 10 г 4 10−

=

×

=

×

≈ ×

г

Планка или около 40 микрограммов. Не слишком впечатляющее число, но в физике частиц это верхний предел массы для элементарной частицы. Чуть больше — и частица сколлапсирует и превратится в черную дыру.