Нил Тайсон - Добро пожаловать во Вселенную

339

Решения фантастика, но существуют ли подобные невероятно массивные черные дыры? Безусловно, да: ядра массивных галактик, в том числе нашего Млечного Пути, и в самом деле содержат колоссальные черные дыры. Одна из самых массивных черных дыр, известных нам на сегодня, находится в ядре галактики Мессье 87 (M 87); ее масса, по оценкам, составляет 3 миллиарда солнечных.

Нам осталось найти Шварцшильдовский радиус такой черной дыры.

Можем подставить числа в формулу для радиуса Шварцшильда и считать себе на здоровье, но мы предпочитаем более простой подход. Нам известно, что радиус Шварцшильда пропорционален массе черной дыры, и кроме того, нам известно, что шварцшильдовский радиус черной дыры массой в 1 массу

Солнца равен 3 километрам. Поэтому черная дыра массой 150 миллионов масс Солнца имеет радиус в 150 миллионов раз больше, или 4,5 108 км.

Нас просят выразить это в а. е.; 1 а. е. равна 1,5 108 км, значит, радиус

Шварцшильда такой черной дыры равен 3 а. е.

110. dОбщая масса черной дыры нам известна. Если мы сможем вычислить массу одного листа бумаги, отношение этих величин даст нам общее число страниц. Вычислим массу одного листа бумаги. Нам известно, что квадратный метр бумаги имеет массу 75 граммов. Сколько квадратных метров в книжном листе обычного формата? Один дюйм — это 2,5 сантиметра = 2,5 10–2 метра. Тогда 8,5 11 дюймов2 100 дюймов2 6 10–2 м2.

Следовательно,

масса листа бумаги = 7,5 10–2 кг/м2 6 10–2 м2 5 10–3 кг.

То есть лист бумаги весит примерно 5 граммов. Поделим на это массу, которую мы вычислили:

38 масса книги с правилами

3×10 кг количество страниц =

=

=

3 масса одной страницы

5×10− кг / стр.

40

= 6×10 страниц.

340

Решения

Строго говоря, если правила напечатаны на обеих сторонах листа, надо умножить полученный результат на два. Да, и правда длинный список правил!

Наконец, отметим, что чем массивнее дыра, тем ниже ее плотность, как мы убедились в части а), а следовательно, вышеприведенная масса и число страниц «Правил броккийского ультра-крикета» — это лишь нижние пределы. То есть, если бы книга правил была еще больше, чем мы вычислили, она все равно коллапсировала бы в черную дыру.

Спасибо Александро Строссу, сыну Майкла, знающему «Путеводитель по галактике» практически наизусть, за то, что он нашел для нас цитату про броккийский ультра-крикет.

111. Столкновение черных дыр!

Орбита каждой из черных дыр — это круг с радиусом, равным радиусу

Шварцшильда R

, а следовательно, с окружностью в 2 раз больше.

Шварцшильда

Ее период — это расстояние, поделенное на скорость света: 2π× R Шварцшильда период = 0,004 с =

.

c

Скорость света равна 300 000 км/с, и мы, применив обычное приближение = 3, упрощаем выражение до

R

= 200 км.

Шварцшильда

Нам известно, что массе Солнца соответствует радиус Шварцшильда около 3 километров, а у нас получилось число примерно в 60 раз больше.

Значит, каждая из черных дыр обладает массой в 60 солнечных. На самом деле, более точные расчеты с применением формул общей теории относительности показывают, что мы ошиблись в два раза: каждая из двух черных дыр имеет массу около 30 солнечных.

341

Решения

111. bСветимость — это энергия (3 массы солнца, помноженные на с 2), поделенная на время (0,02 с):

3 2 10 кг (3 10 м / с)2

30

8

49

L

× ×

× ×

=

≈ 3×10 Вт.

0,02 с

Обратите внимание, что, поскольку мы последовательно применяли единицы МКС, ответ с неизбежностью получается в ваттах.

111. сВычислить очень просто: 1011 светимостей Солнца на галактику, 1011 галактик, что дает общую светимость в 1022 светимостей Солнца. Умножим на светимость Солнца (около 4 1026 ватт) и получим общую светимость

4 1048 ватт, в 10 раз меньше, чем значение, найденное в части b). То есть за 1/50 секунды столкнувшиеся черные дыры выдали светимость примерно в 10 раз больше, чем все звезды во всех галактиках всей наблюдаемой

Вселенной. Потрясающе!

111. dРастяжение — это отношение изменения расстояния к самому расстоянию (4 км), а тогда изменение расстояния — это растяжение, умноженное на 4 километра. Вспомним, что в метре у нас 1010 ангстрем, в 1 километре 1000 метров, и тогда изменение расстояния составит 4 10–21 + 10 +3 ангстрем = 4 10–8 ангстрем. Это примерно 4 10–3 от радиуса протона. Просто удивительно, что мы способны зарегистрировать такой крошечный сигнал!

И еще удивительнее, что мы можем интерпретировать его как столкновение пары черных дыр, которое на краткий миг засияло ярче, чем вся остальная наблюдаемая Вселенная!

112. Добываем энергию из пары черных дыр

112. аКаждая невращающаяся черная дыра имеет сферический горизонт событий с радиусом Шварцшильда

2 GM

R

=

, поэтому площадь

Шварцшильда

2 c его поверхности составит

2

2

⎛ 2

4

4

GM

A

r

⎞

= π

= π⎜

⎟.

Шварцшильда

2

⎝ c ⎠

342

Решения

Первоначально таких черных дыр было две, поэтому общая первоначальная площадь их горизонтов событий вдвое больше: 2

⎛ 2

2

32

GM

A

A

⎞

=

= π⎜

⎟.

общ. нач.

2

⎝ c ⎠

112. bПлощадь горизонта событий черной дыры, возникшей в результате столкновения, должна быть больше общего первоначального значения

А

, которое мы нашли в части а):

общ. нач.

2

2

⎛ 2

4

32

GM

A

r

⎞

= π

> π⎜

⎟.

конечн.

Шварцшильда, конечн.

2

⎝ c ⎠

Однако радиус Шварцшильда итоговой черной дыры связан с ее массой обычной формулой:

2

2

⎛ 2 GM

⎞

конечн.

4 ⎜

⎟

32 ⎛ GM ⎞

π

> π⎜

⎟.

2

2

⎝

c

⎠

⎝ c ⎠

Сократим общие множители с обеих сторон, и у нас получится

M 2

> 2 M 2,

конечн.

то есть

M

> 2 M .

конечн.

112. сПервоначальная масса составляла 2 М , итоговая масса должна быть больше 2 M , тогда потерянная масса должна быть меньше разницы между двумя этими величинами, то есть (2− 2) M . Если масса потеряна в виде гравитационного излучения, верхний предел энергии, унесенной гравитационными волнами, равен этой величине, умноженной на с 2, то есть (−) 2

2

2 Mc .

112. dИзначально две черные дыры находятся на огромном расстоянии друг от друга, поэтому начальной гравитационной энергией можно пренебречь. Тогда общая масса-энергия системы первоначально составляла просто Е = 2 Мc 2, а доля, высвободившаяся в виде гравитационных волн, меньше

(2− 2) 2

Mc

(2−1,41421.)

=

= 0,29289.

2

2 Mc

2

343

Решения

То есть в гравитационные волны при столкновении двух черных дыр преобразуется меньше 29,3 % их первоначальной массы-энергии. На практике это количество значительно меньше, что зависит от подробностей столкновения. Как мы знаем из задачи 111, эксперимент LIGO позволил зарегистрировать гравитационные волны, возникшие при столкновении черной дыры массой 20 солнечных с черной дырой массой 36 солнечных, в результате чего образовалась черная дыра массой 62 солнечных. То есть в энергию в форме гравитационных волн перешло «всего» 3 массы Солнца — около