Нил Тайсон - Добро пожаловать во Вселенную

326

Решения

103. dНа гранях между стенкой и донышками банки кривизна бесконечна: у нас неевклидова геометрия! Хотя искривление ограничено бесконечно малой областью, но если ее пересечь, получатся интересные отклонения от евклидовых предсказаний, например, треугольник с тремя прямыми углами.

В целом законы евклидовой геометрии справедливы только для плоского пространства. В этом случае пространство локально плоское почти везде, но если пересечь области, где оно не плоское, и возникают отклонения от законов Евклида. Углы треугольника, нарисованного целиком на стенке банки или на донышках, в сумме составят 180°, поскольку треугольник целиком разместится в локально плоской области.

1

3

3

2

2

A

B

C

2

Рис. 11.Решения к различным частям задачи 103.

327

Решения

104. Отрицательная масса

И Эйнштейн, и Ньютон сказали бы, что мяч упадет на пол. Ньютон сказал бы: пусть масса мяча равна m . На нее воздействует сила тяготения Земли

(массы М и радиуса r ) величиной GMm / r 2. Если приравнять это к массе, умноженной на ускорение мяча, получим а = GM / r 2, то есть ускорение не зависит от массы m , даже если она отрицательная. Ускорение направлено вниз, поэтому мяч упадет вниз.

Эйнштейн сказал бы: тела в гравитационном поле следуют по геодезическим линиям независимо от массы. Иначе говоря, однородное гравитационное поле эквивалентно системе отсчета, движущейся с ускорением: пол поднимается навстречу мячу, независимо от его массы.

Здесь стоит перейти обратно на ньютоновский язык. Обратите внимание, что масса выходит на сцену в двух разных ипостасях: есть инерционная масса, та, что участвует в отношениях между силой и ускорением F = ma , а есть гравитационная, из закона всемирного тяготения. Принцип эквивалентности, который сформулировал Эйнштейн, потому и работает, что эти две массы одинаковы и потому сокращаются в формуле ускорения. Изначально совсем не очевидно, что эти две формы массы одинаковы, и ученые придумали очень хитроумные эксперименты (погуглите «эксперимент Этвёша»), которые подтвердили, что инерционная и гравитационная масса — это и в самом деле одно и то же в пределах нашей нынешней способности их измерить.

Насколько нам известно, мячей отрицательной массы, подобным описанной в этой задаче, во Вселенной не существует, тем не менее, и ньютонова теория всемирного тяготения, и общая теория относительности обеспечивают нас лексиконом, позволяющим о них говорить. А вот антивещество — это реальное физическое явление, оно рождается и участвует во всевозможных столкновениях, изучаемых физикой частиц. Это то самое антивещество, которое при контакте с обычным веществом вызывает аннигиляцию обоих и превращение их совокупной mc 2 в энергию. Масса антивещества положительна. Эксперименты Этвёша проделывали и с частицами антивещества, 328

Решения и было показано, что принцип эквивалентности справедлив и для них: антивещество в гравитационном поле падает точно так же, как и обычное вещество.

105. Старение на орбите

105. аНам дан темп, в котором идут часы на расстоянии r относительно часов на бесконечном расстоянии. Нужно сравнить темп часов на расстоянии r относительно часов на расстоянии радиуса Земли (то есть на поверхности

Земли). Можно подойти к этой задаче, сравнив темп обоих часов относительно бесконечно удаленных. То есть часы на поверхности Земли идут в темпе на множитель

1 2 GM

1

⊕

− 2 с r ⊕

медленнее, чем бесконечно удаленные часы, а часы на расстоянии r идут медленнее на множитель

1 2 GM

1

⊕

−

.

2 с r

Обратите внимание, что оба выражения меньше единицы, но поскольку r > r , стационарные часы на расстоянии r идут быстрее, чем на поверхности

Земли. Более того, относительный темп двух часов — это просто отношение этих двух выражений:

1 2 GM

1

⊕

− 2 с r .

1 2 GM

1

⊕

− 2 с r

Это выражение больше 1.

105. bСкорость астронавта на круглой орбите — величина, с которой вы уже сталкивались в предыдущих задачах. Круговое движение со скоростью v и на расстоянии радиуса r порождает ускорение v 2/ r , вызванное, 329

Решения как мы знаем, гравитацией. Тогда, если масса астронавта равна m , второй закон Ньютона гласит, что

F = ma

2

GM ⊕ m v

= m .

2 r r

Найдем отсюда v :

GM

v

⊕

=

.

r

Множитель замедления времени, объясняющийся эффектами СТО, —

это уже знакомое нам выражение

2

2

1− v / c , что в нашем случае дает

GM

1

⊕

−

.

2 rc

Опять же обратите внимание, как это похоже на приведенное выше выражение для замедления времени, вызванного гравитацией. Это все тот же темп, в котором идут часы на орбите радиусом r относительно неподвижных часов на том же расстоянии r .

105. сВ части а) мы вычислили отношение темпов стационарных часов на радиусах r и r (объясняющееся эффектами ОТО), а в части b) мы вычислили

отношение темпов часов на орбите радиусом r и неподвижных часов на том же расстоянии r . Тогда отношение темпов часов на орбите радиусом r и неподвижных часов на поверхности — это просто произведение двух результатов: 1 2 GM

1

⊕

− 2 c

⎛

1 GM

r

⎞

× ⎜1

⊕

− ×

⎟.

2

1 2 GM

⎝

⎠

1

⊕

c r

− 2 c r ⊕

Это сложное выражение, и без некоторых приближений его не упростишь. Этим мы и займемся в следующей части.

330

Решения

105. dПослушаемся подсказки. Возведем обе части уравнения в квадрат:

1

1− x ≈ 1− x .

2

Тогда мы обнаружим, что

1

1 2

1− x ≈ 1− 2× x + x .

2

4

Если х очень мал, 1 2 x — это совсем чуть-чуть, и мы можем пренебречь

4 этой величиной; тогда правая часть превращается в 1 — х , что, очевидно, равно левой части. Если квадраты двух частей выражения равны, значит, изначальное выражение истинно. Обратите внимание, что эти вычисления похожи на решение задачи 90.

105. еСделаем первое из этих приближений. Согласно подсказке, запишем

1 ≈1+ x .

1− x

И проделаем алгебраические преобразования, чтобы получить результат, в истинности которого мы уверены. Если нам это удастся, можно не сомневаться, что и первоначальный результат был верен. Умножим обе части на 1 — х и получим

1 (1 + х )(1 — х ) = 1 — х 2.