Нил Тайсон - Добро пожаловать во Вселенную

108. bУилер ввел в обращение термин «черная дыра». Это он натолкнул Бекенштейна на идею энтропии черных дыр, что привело к концепции

335

Решения излучающей черной дыры, а вместе с Фейнманом Уилер исследовал идею о том, что позитрон — это электрон, идущий в обратном направлении во времени (то есть что все позитроны и электроны во Вселенной — это одни и те же частицы).

108. сДА. Массивные черные дыры (вроде тех, которые возникают при коллапсе звезд, или сверхмассивных черных дыр в центрах галактик) испускают излучение Хокинга, просто очень медленно — так медленно, что это излучение еще не удалось зарегистрировать экспериментально.

Излучение Хокинга уносит энергию, а следовательно, массу, значит, срок жизни изолированной черной дыры ограничен.

108. dНЕТ. Черные дыры испускают излучение Хокинга, а следовательно, распадаются (просто очень медленно). Хотя предсказание этого излучения прямо следует из наших представлений о квантовой механике и общей теории относительности, пронаблюдать его еще не удалось. Две сливающиеся черные дыры также испускают энергию (а следовательно, массу) в виде гравитационного излучения. Это впервые пронаблюдали в

2015 году, когда при слиянии двух черных дыр на гравитационное излучение ушло три массы Солнца.

109. Большие черные дыры

Обратите внимание, что радиус Шварцшильда черной дыры прямо пропорционален ее массе, поэтому, если мы проведем вычисления для черной дыры стандартной массы, скажем, 1 массы Солнца, затем будет легко масштабировать этот результат для черных дыр любой другой массы.

Для 1 массы Солнца

2 GM

R

=

чд,

Шварцшильда

2 c

2

10

−

3 2

−

1

−

30

2× ×10 м с кг ×2×10 кг

3

1

4

R

=

≈ ×10 м.

Шварцшильда

(

−

×

)2

8

1

3

3 10 м с

336

Решения или около 3 км. А раз радиус Шварцшильда пропорционален массе, поэтому можно просто умножить этот результат на количество солнечных масс у каждой черной дыры.

Что же касается приливного ускорения, то на d = R Шварцшильда

6

2 GM r

2 GM r чд чд приливное ускорение c r

=

=

=

=

3

3

2

2 d

⎛

2 GM ⎞

32 G M чд чд

⎜2×

2 c ⎟

⎝

⎠

2

6 с r

⎛ M

⎞

Солнца

=

⎜

⎟.

2

2

32 G M

⎜ М ⎟

Солнца чд

⎝

⎠

На последнем этапе мы представили искомую величину в единицах массы Солнца. Подставив числа, получим

(3×10 мс−)6

2

8

1

×1м

⎛ M

⎞

Солнца приливное ускорение =

⎜

⎟.

2

2

⎜

⎞

М ⎟

⎛

10

−

3 2

−

1

32 ⎜ 10 м с кг− ⎟ (

30

2 10 кг)2 чд

⎝

⎠

× ×

× ×

⎝ 3

⎠

2

⎛ M

−

⎞

9 чд

2 приливное ускорение = 1,3×10 ⎜

⎟ м с−.

⎜ М

⎟

⎝ Солнца ⎠

Осталось только подставить массы (в массах Солнца) различных объектов, которые мы должны рассмотреть. Получим следующее.

Масса

Радиус

Приливное ускорение

30 М

90 км

1,4 106 м/с2

Солнца

4 106 М

1,2 107 км

8 10–5 м/с2

Солнца

109 М

3 109 км

1,3 10–9 м/с2

Солнца

Очень интересно отметить, что черные дыры с массой несколько больше солнечной вызывают мощные приливные силы, способные за секунду разнести на куски объект в пределах нескольких шварцшильдовских радиусов.

337

Решения

Сравните приливное ускорение, которое мы вычислили, с ускорением свободного падения у нас на Земле (10 м/с2): вас разорвет больше 100 000 g !

Другая крайность — черная дыра с массой в 109 М

в центре квазара,

Солнца которая обладает радиусом Шварцшильда в 3 миллиарда километров, или

20 а. е., но приливные силы у нее ничтожно малы. В сущности, если бы мы упали в черную дыру массой 109 М

, мы бы прекрасно чувствовали

Солнца себя и после пересечения Шварцшильдовского радиуса (только выбраться не могли бы!) Но вскоре после перехода горизонта событий на радиусе

Шварцшильда приливные силы стали бы расти и расти и разорвали бы нас на части еще до того, как мы исчезли бы в центральной сингулярности.

110. Задача автостопщика

110. аШварцшильдовский радиус черной дыры массы М равен

2 GM

R

=

.

Шварцшильда

2 c

Объем сферы такого радиуса находим по знакомой формуле

(4/3) R 3

Плотность — это масса, деленная на объем, поэтому

Шварцшильда

6

M

3 плотность c

=

=

.

3

3

2

4 ⎛ 2 GM ⎞

32 G

π M

π⎜ 2

3 c ⎟

⎝

⎠

Какое обескураживающее выражение! Чем массивнее черная дыра, тем меньше становится плотность. То есть существует такая масса, при которой черная дыра обладает плотностью бумаги, что, собственно, мы и хотели выяснить. Если собрать достаточно бумаги, чтобы получилась такая масса, она коллапсирует и образует черную дыру.

Стоит подчеркнуть, что настоящее вещество, из которого состоит сингулярность в центре черной дыры, гораздо меньше, чем ее радиус Шварцшильда, и обладает значительно большей плотностью. Это вещество, насколько мы понимаем, сжато в точку размером порядка планковской длины.

338

Решения

110. bПлотность — это масса на единицу объема. Если мы вычислим объем квадратного метра бумаги (массу мы знаем — 75 граммов), то сможем вычислить его плотность. Объем листа бумаги — это площадь, умноженная на толщину. Толщина равна 0,1 мм, или 10–4 м, поэтому объем квадратного метра бумаги равен 1 метр2 10–4 метров = 10–4 метров3. Тогда плотность бумаги равна

2

7,5×10− кг

2

3

ρ =

= 7,5×10 кг / м.

4

−

3

10 м

Это почти как плотность воды (немного меньше: не забывайте, что бумагу делают из дерева, а дерево плавает в воде!)

110. сЗдесь мы приравниваем выражение для плотности, которое нашли в части а), и плотность, которую вычислили в части b), и решаем это уравнение относительно массы. Начнем с алгебры:

6

3 с

ρ =

,

3

2

32 G

π M

6

3 c

M =

.

3

32 G

π ρ

Теперь подставим числа. Вот будет веселье, если мы сделаем все без калькулятора!

3(3×10 м / с)6

8

38

M =

≈ 3×10 кг.

32π(2 / 3×10− м с− кг−)3

10 3 2

1

2

3

×7,5×10 кг / м

Здесь мы приняли все приближения, как обычно: = 3, 32 = 10 и так далее. Надо выразить это в солнечных массах, поэтому поделим результат на 2 1030 кг (то есть на 1 массу Солнца) и получим 1,5 108 М

, что

Солнца и будет окончательным ответом. Черная дыра массой в 150 миллионов раз больше массы Солнца обладает плотностью листка бумаги!

Да нет же, это все просто научная фантастика! Ну что ж, «Путеводитель по галактике для путешествующих автостопом» и в самом деле научная