Нил Тайсон - Добро пожаловать во Вселенную

Но мы знаем, что х ا 1, поэтому х 2 — это очень мало, и относительно 1 им можно пренебречь. Тогда вышеприведенное выражение дает нам очевидно истинное утверждение 1 1. Это доказывает истинность первого утверждения.

Второе утверждение доказывается подобным же образом: (1 — х )(1 — у ) = 1 — ( х + у ) + ху .

331

Решения

Но если и х , и у много меньше единицы, их произведение опять же очень мало, и им можно пренебречь. Тогда

(1 — х )(1 — у ) 1 — ( х + у ), что и требовалось доказать.

105. fТеперь упростим выражение, которое мы вывели в части с), при помощи разных хитрых приемов, которыми мы запаслись в частях d) и е).

В конце концов мы покажем, что приближения, согласно которым те или иные члены выражения оказывались гораздо меньше 1, верны. Сделаем все по частям и начнем с вычислений из части а). Запишем

1 2 GM

1

⊕

− 2 c

⎛

1 2 GM ⎞ ⎛

⎞

⊕

1 2 GM

r

≈ ⎜1−

⎟× 1

⊕

+

,

2

⎜

2

1 2 GM

⎟

1

⊕

⎝

c r ⎠

c r

−

⎝

⊕

⎠

2 c r ⊕

используя первое выражение из части е). Затем воспользуемся вторым выражением, выведенным в части е), и получим

⎡ GM ⎛

⎞⎤

⊕

2 2

1−

−

.

⎢ 2 c ⎜ r r ⎟⎥

⎣

⎝

⊕ ⎠⎦

Это выражение мы умножаем на выражение из части b) и снова задействуем второе выражение из части d), чтобы упростить его до

⎡ GM ⎛

⎞⎤

⊕

3 2

1−

−

.

⎢ 2 c ⎜ r r ⎟⎥

⎣

⎝

⊕ ⎠⎦

Почти готово! При помощи приемов, усвоенных в части d), мы теперь умеем упрощать выражения вида — (1 — х ), где х очень мал. Теперь наше выражение принимает вид

⎡ GM ⎛

⎞⎤

⊕

3 2

1−

−

.

⎢ 2

2 c ⎜ r r ⎟⎥

⎣

⎝

⊕ ⎠⎦

332

Решения

Это и есть окончательный ответ.

Однако нам нужно оправдать применение всевозможных приближений.

Мы имели дело с разными выражениями вида (1 — х ), и в каждом случае х имел вид GM / rc 2. Самый маленький радиус r в рамках этой задачи (а следо-

вательно, r , при котором значение GM / rc 2 максимально), это r = r . Поэтому

подставим числа при r = r и увидим, что получится: 2

10

−

3 2

−

1

−

24

×10 м с кг ×6×10 кг

GM ⊕ 3

=

,

2 r ⊕ c

6,4×10 м×(3×10 м / с)2

6

8 где мы последовательно перевели все в единицы МКС. Чтобы упростить это выражение, приближенно примем радиус Земли равным 6 106 м и запишем

32 10. Тогда много всего сократится, и мы получим окончательный ответ

7 10–10. Обратите внимание, что величина эта безразмерна. Это и в самом деле число много, много меньше 1!

105. gЗдесь нам нужно найти радиус, на котором выведенное в части

f) выражение равно 1. Очевидно, это происходит, когда величина в скобках равна нулю:

3 2

− = 0,

r r ⊕

или r = 1,5 r .

Зная радиус Земли — 6400 км — получаем, что искомое расстояние равно 9600 км от центра Земли или 3200 км от ее поверхности. Выражение из части f) меньше 1 на меньших расстояниях, поэтому астронавты в космических шаттлах стареют медленнее (хотя и совсем немного медленнее) оставшихся дома землян.

Все эти вычисления мы проводили относительно людей на поверхности Земли. Разумеется, сама Земля (и космический корабль на ее орбите) 333

Решения вращается вокруг Солнца со скоростью 30 км/с. Чтобы найти замедление времени на этой орбите, скажем, относительно неподвижного наблюдателя вдали от Солнца, потребуются отдельные вычисления.

106. Короткие вопросы по общей теории относительности

106. аДА. Это основы общей теории относительности, которая обходится без идеи всемирного тяготения как силы в ньютоновском смысле.

В ОТО масса-энергия заставляет пространство-время искривляться, а тела следуют по геодезическим линиям (аналогам прямых) в искривленном пространстве-времени.

106. bГеодезическая линия — это путь, который избирает в пространстве-времени тело в отсутствие воздействующих на него сил (помимо гравитации). Или, что то же самое, это самый прямой путь между двумя точками в искривленном пространстве-времени.

106. сНоваторская идея Эйнштейна состояла в том, что однородное гравитационное поле невозможно отличить от ускоренной системы отсчета, поэтому их можно считать эквивалентными. Эйнштейн назвал это Принципом эквивалентности (и считал самой удачной идеей в своей жизни), и это подвело его к созданию общей теории относительности.

106. dПервое — прецессия перигея Меркурия. ОТО предсказала прецессию в точности с той же амплитудой, какую давали наблюдения.

Второе — отклонение света далеких звезд за счет гравитации Солнца.

В 1919 году это удалось пронаблюдать во время полного солнечного затмения, и результаты наблюдений опять же полностью соответствовали предсказаниям ОТО. Современные проверки этих предсказаний включают наблюдения гравитационных линз, в которых свет далекой галактики или квазара разделяется на несколько изображений под воздействием гравитации галактики, расположенной ближе к нам, а также долгожданную регистрацию гравитационных волн от слияния пары черных дыр.

334

Решения

107. Черная дыра в центре Млечного Пути

107. аНьютонова форма третьего закона Кеплера гласит, что ее масса в солнечных массах равна

3

(

a

M солнечные массы)

(а.е.)

=

.

2

P (годы)

Подставим числа и получим

9

10

6

M =

= 4×10 M

.

Солнца

250

107. bВспомним, что 1 а. е. противолежит 1 угловой секунде на расстоянии в 1 парсек. Тогда искомый угол в угловых секундах равен

1000 а. е./8000 парсек = 1/8 угловой секунды, или 0,125aa. Есть и более трудный способ: перевести а. е. и парсеки (световые годы) в километры, взять отношение, а результат перевести из радианов в угловые секунды.

Задача облегчится, если вспомнить, что 1 парсек = 200 000 а. е., а в одном радиане 200 000 угловых секунд.

107. сРадиус черной дыры пропорционален ее массе. Черная дыра массой в одну солнечную имеет радиус 3 километра, поэтому черная дыра массой 4 106 М

имеет радиус 3 4 106 км = 1,2 107 км.

Солнца

108. Короткие вопросы о черных дырах

108. аОтвет — ДА, за счет излучения Хокинга: когда виртуальная пара частиц на горизонте событий разделяется, одна частица падает в черную дыру, а другая излучается. Излучение Хокинга очень слабо и еще не получило экспериментального подтверждения. Очень массивные черные дыры с массами более миллиарда солнечных масс, обнаруженные в центрах галактик, испарятся за счет этого излучения более чем за 2 1094 лет.