Нил Тайсон - Добро пожаловать во Вселенную

Земли, рассеиваясь по большой площади (много квадратных километров).

Астрономы сконструировали не один десяток массивов из датчиков, расставленных по большой площади, чтобы регистрировать попадающие на Землю частицы подобных ливней, рождаемых космическими лучами.

93. А «Титаник» все плывет

93. аСокращение длины в связи с эффектами СТО у объекта длиной l , перемещающегося со скоростью v , равно

2

2 l 1− v / c , где с — скорость света. В задаче спрашивается, какой будет скорость корабля v , чтобы его длина сократилась с 882,5 до 882,4 футов. Мы могли бы просто ввести все числа в калькулятор и найти v , но попробуем обойтись без калькулятора: 2

882,4 = 882,5 1 v

−.

2 c

Нам известно, что поскольку это сокращение очень мало, скорость окажется ощутимо меньше скорости света, то есть v 2/ c 2 ا 1. При таких условиях

2

2 v

1

1−

= 1 v

−

2

2 c

2 c

318

Решения с очень хорошей точностью. Проверьте сами: возьмите квадратный корень из обеих частей, и вы увидите, что если v 2/ c 2 мало, величина v 4/ c 4 просто крошечная! (Подробности см. в задаче 90). Применив это приближение, можем записать

2

882,4 882,5⎛⎜1 v ⎞

=

−

⎟.

2

⎝

2 c ⎠

Вычтем из обеих частей 882,4, и после некоторых преобразований уравнение приобретет вид

2

0,1 v

=

,

2

882,5 2 c

2

4

2×10−

v

=.

2 c

Взяв квадратный корень из обеих частей, получим v = 1,4 10–2 с = 1,4 10–2 3 105 км/с 4500 км/с.

Таким образом, «Титанику» пришлось бы мчаться относительно нас со скоростью 4500 километров в секунду, чтобы добиться сокращения длины на 1 дюйм! Вот почему мы не замечаем этого эффекта, ведь для того, чтобы получить даже такое крошечное сокращение, требуются скорости на порядок выше, чем те, с которыми мы сталкиваемся в повседневной жизни.

93. bЧтобы вычислить энергию взрыва в результате удара «Титаника»

о землю при падении с высоты 51,3 км, предположим сначала, что кинетическая энергия «Титаника» в момент удара полностью перейдет в энергию «взрыва». Тогда энергия взрыва равна

2

1

E

E

mv

(

)

3

2

3

⎛

10 м

0,5 45 000 т 10 кг / т ⎜1 км / с

⎞

=

=

=

×

×

×

⎟ =

взрыва кинетическая

2

⎝

км ⎠

13

= 2,25×10 Дж.

319

Решения

Мы знаем, что 1 килотонна тринитротолуола (ТНТ) при взрыве дает энергию 4,2 1012 Дж. Тогда энергия взрыва «Титаника» в килотоннах ТНТ равна

13

2,25 10 Дж

E

×

=

≈ 5 килотонн ТНТ.

взрыва

12

4,2×10 Дж / кт

93. сЕсли применить уравнение Эйнштейна Е = mc 2, получим, что количество массы, которое должно аннигилировать, чтобы дать взрыв с такой энергией, равно

13

E взрыва 2,25×10 Дж

4 m =

=

= 2,5×10− кг = 0,25 г.

2 c

(3×10 м/ с)2

8

Это примерно масса маленького жучка.

94. Стареющий астронавт

С нашей точки зрения время составит расстояние/скорость = 4 св. года /0,8 с = 5 лет.

Но часы астронавта идут медленнее на множитель

2

2

1− v / c = 0,6.

Таким образом, астронавт стал старше на 3 года.

Можно решить эту задачу и другим способом: с точки зрения астронавта дистанция в 4 световых года сократилась на Лоренц-фактор 0,6, тогда он придет к выводу, что две звезды, расстояние между которыми он преодолел со скоростью в 0,8 скорости света, разделяет всего 0,6 4 = 2,4 световых года, и на преодоление этого расстояния со скоростью в 0,8 скорости света у астронавта уйдет

2,4 св. года = 3года.

0,8 с

95. Разлуки и встречи

Ваш сосед путешествовал с околосветовой скоростью, которая привела к тому, что его часы шли медленнее на множитель 40 лет/50 лет = 4/5.

Этот множитель и есть Лоренц-фактор из СТО

2

2

1− v / c . Найдем v :

320

Решения

2

1 v

−

= 4 / 5

2 c

2

1 v

− = 16 / 25

2 c

2 v = 9/25

2 cv =3/5.

c

Таким образом, он перемещался со скоростью 60 % скорости света, т. е. 180 000 км/с.

В нашей системе отсчета он провел в пути 50 лет и путешествовал со скоростью 60 % скорости света, поэтому преодолел 30 световых лет. Он слетал туда и обратно, поэтому до звезды 15 световых лет.

96. Путешествие к другой звезде

96. аС нашей точки зрения, на то, чтобы пройти путь в 20 световых лет со скоростью 80 % скорости света, нужно

20 св. лет

= 25 лет.

4 / 5×1св. год /год

96. bС точки зрения глизиан, их время сокращается на Лоренц-фактор

2 v

2

1−

= 1− 0,8 = 0,36 = 0,6.

2 c

Поэтому время, которое, как они думают, заняло путешествие, составляет

25 лет 0,6 = 15 лет.

96. сРасстояние между своей планетой и Землей глизиане тоже видят сокращенным на тот же множитель 0,6, поэтому у них получится

20 световых лет 0,6 = 12 световых лет.

321

Решения

Либо с их точки зрения расстояние между их планетой и Землей промчится мимо со скоростью 0,8 с , что даст расстояние

15 лет 0,8 1 световой год/год = 12 световых лет.

97. Отстающие часы на Земле

Формула Лоренца предполагает, что время нужно умножать на

2

2

1− v / c . В нашем случае скорость равна 30 км/с, что гораздо меньше скорости света. В задаче 90 мы видели, что для малых скоростей Лоренц-

2 фактор в хорошем приближении выглядит как 1

1 v

−

То есть для времени

2

2 c t разница между часами составит

2

2

2 v

⎡ ⎛ 1 ⎞⎤

1

⎢1 ⎜1 v t ⎛ v t t t

⎞

−

−

≈

− −

⎟⎥ = ⎜ ⎟.

2

2 c

⎣ ⎝

2 c ⎠⎦ 2 ⎝ c ⎠

Нам хочется выяснить, для какого значения t разница станет равной

1 секунде? Наша скорость v = 30 км/с — это 10–4 скорости света, поэтому получаем t (−

×

)2

4

10

= 1 c,

2

8

1 год t = 2×10 c×

≈ 6 лет.

7

3×10 с

98. Антивещество!

Во-первых, антивещество обладает точно такой же массой, что и обычное вещество, у него нет «отрицательной массы», что бы это ни означало.

Поэтому оно подвержено гравитации и эквивалентно энергии по обычному закону Е = mc 2. Анти веществом оно считается только в том смысле, в каком это слово применено в условиях задачи: антивещество при контакте с обычным веществом полностью аннигилирует. Опасное соседство…

Начнем с алгебраического решения задачи, а числа подставим в самом конце. У нас два грузовика, каждый массой m , и каждый движется со ско-

322

Решения ростью v . Кинетическая энергия каждого равна 1/2 mv 2, поэтому совокупная энергия двух грузовиков равна mv 2.

Далее, грузовики из вещества и антивещества обладают энергией mc 2 каждый (та же m , что и выше!), поэтому их совокупная энергия равна 2 mc 2, и все это количество высвободится при взрыве. Ничего себе! В задаче спрашивается, каково отношение энергий. Это просто: