Нил Тайсон - Добро пожаловать во Вселенную

2 4

L ∝ R T .

Нам нужна температура, давайте ее найдем:

1/4

1/2

T L

R −

∝

×

.

Запишем это соотношение для абсолютно черного тела, о котором говорится в условии, и для Солнца, и найдем их отношение: 1/2

1/2

5

T

3

⎛ 7 ×10 км⎞

3

⎛ 1

10

10

⎞

=

×

=

×

⎜

⎟

⎜

⎟ = 1000 / 20 = 50.

8

6000 K

⎝ 3 ×10 км⎠

⎝ 400⎠

Таким образом, температура поверхности абсолютно черного тела равна

50 6000 К = 3 105 К. На самом деле светимость квазара обеспечивается не абсолютно черным телом с радиусом, равным радиусу Шварцшильда, а аккреционным диском из раскаленного газа. Трение в этом диске заставляет газ двигаться по спирали внутрь и падать в черную дыру. Внутренний край аккреционного диска имеет радиус в несколько раз больше шварцшильдовского радиуса центральной черной дыры.

309

Решения

88. сЗакон обратных квадратов связывает расстояние d , светимость

L и яркость b :

L

b =

.

2

4 d

π

Нас интересует расстояние, поэтому найдем его:

1/2

⎛ L

d

⎞

∝ ⎜ ⎟.

⎝ b ⎠

Запишем это уравнение и для звезды класса G, и для квазара, и возьмем их отношение, зная, что их яркости равны:

1/2 d

⎛ L

⎞

= ⎜

⎟ = (10)1/2 квазара квазара

12

6

= 10.

d

⎝ L

звезды класса G

звезды класса G ⎠

Отсюда d

= 106 3000 световых лет = 3 109 световых лет.

квазара

Расстояние до этого квазара — три миллиарда световых лет: подлинно космологическая дистанция.

89. Происхождение элементов

В ранней Вселенной было так жарко, что могли существовать только протоны (то есть ядра водорода), электроны, фотоны, нейтроны, нейтрино

(и, предположительно, частицы, составляющие темное вещество). В первые три минуты после Большого взрыва нейтроны соединялись с протонами и создавали атомы гелия (примерно 25 % по массе), а также небольшие количества ядер дейтерия и трития. Расчеты количества гелия и дейтерия, возникшего при Большом взрыве, прекрасно соответствуют данным наблюдений и служат одним из нескольких надежных экспериментальных доказательств гипотезы, что в начале Вселенной был горячий Большой взрыв. Однако более тяжелых элементов в то время не возникало.

Звезды главной последовательности в своих недрах сжигают водород и превращают его в гелий. Когда водород в ядре кончается, звезда перестает

310

Решения быть звездой главной последовательности; она начинает схлопываться под воздействием гравитации и превращает у себя в ядре водород в углерод и кислород, становясь красным гигантом. У звезд, масса которых меньше восьми солнечных, на этом все кончается, а у более массивных звезд происходит цепь ядерных реакций, в ходе которых сгорают по очереди все новые поколения топлива, и так синтезируется кремний, неон и многие другие элементы. Структура звезды становится похожей на луковицу, и в каждом слое сгорает свой элемент. Стадии становятся все короче и короче, поскольку количество энергии, которое можно добыть из каждого элемента, все меньше и меньше. Когда ядро становится чисто железным, звезда уже не может поддерживать достаточное давление, чтобы противостоять гравитации. Дело в том, что железо — элемент, из которого невозможно получить энергию путем термоядерного синтеза, оно самое стабильное из атомных ядер. Звезда схлопывается и взрывается, образуя сверхновую, высвобождается огромное количество энергии и в процессе взрыва создаются все остальные элементы из таблицы Менделеева. В результате взрыва сверхновой эти элементы попадают в межзвездное пространство, а затем входят в состав следующего поколения звезд и в состав планет.

Создание элементов тяжелее железа может происходить и другим путем, например, при взрыве сверхновых типа Ia, возникающих, когда белый карлик превышает предел Чандрасекара в 1,4 массы Солнца. Белый карлик может стать таким массивным, в частности, в результате аккреции вещества со звезды-компаньона. Кроме того, иногда два белых карлика сталкиваются под гравитационным воздействием третьей звезды в системе. Еще один механизм создания элементов тяжелее железа — столкновения пар нейтронных звезд.

Во всех этих случаях происходит взрыв, который возвращает в межзвездную среду вещество, которое иначе находилось бы в ядре звезды, и в результате это вещество может участвовать в создании следующих поколений звезд и в создании планет.

311

Решения

90. Лоренц-фактор

90. аЕсли v ا с , то v / с ا1, а у близко к единице. Тогда запишем

2 y = 1− x = 1−,ε

где х = v / с . Возведем обе части в квадрат и получим y = − x = (−ε)2

2

2

1

1

.

Раскроем скобки в правой части:

2

2

1− x = 1− 2ε + ε.

Как указано в условии задачи, если значение очень мало, 2 — это совсем чуть-чуть, и им можно пренебречь. Тогда получаем

— х 2 = –2,

или

1 2

ε = x .

2

Или, если подставить наше выражение х = v / с , 2

1⎛ v ⎞

ε = ⎜ ⎟.

2 ⎝ c ⎠

Тогда, поскольку v / с ا1, мы можем записать

2

2

⎛ v ⎞

1

1 ⎜ ⎟ 1 ⎛ v y

⎞

=

−

≈ −

c

2 ⎜ c ⎟

⎝ ⎠

⎝ ⎠

с очень хорошим приближением.

Кстати, это пример общего правила, которое можно продемонстрировать при помощи ряда Тейлора , который изучают в математическом анализе, формула которого

(1+) n x ≈ 1+ nx ,

для случая, когда абсолютное значение (модуль) х , то есть | х |, намного меньше 1.

312

Решения

90. bОбратите внимание, что v 2/ c 2 = (1 —)2 = 1–2 с хорошей точностью, поскольку мы пренебрегли совсем маленьким слагаемым 2. Тогда

2

1 v

1 1 2

2

2⎛⎜1 v y

⎞

=

−

≈

− − α =

α

− ⎟.

2

(

)

c

⎝

c ⎠

Есть и другой способ проделать те же вычисления. Мы можем отметить, что выражение под корнем — это разность квадратов, а следовательно, раскладывается на множители как

2

1 v

⎛⎜1 v ⎞ ⎛⎟⎜1 v y

⎞

=

−

=

−

+ ⎟.

2 c

⎝

c ⎠ ⎝

c ⎠

Тогда с очень хорошей точностью 1 + v / с = 2 (ведь мы берем предел v , стремящейся к с ), и выражение просто превращается в 2(1− v / c ), как выше.

1.0

0.8

0.6 y

0.4

0.2

0

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0 v /c

Рис. 10Рисунок к решению задачи 90. Сплошная линия — точная формула лоренцевского сокращения как функция доли скорости света v / с . Точечная и пунктирная линии — приближения, выведенные в частях b) и а) для высокого v / с и низкого v / с соответственно.