Нил Тайсон - Добро пожаловать во Вселенную

313

Решения

90. сГрафик показан на рис. 10, где показана и точная формула Лоренцевского сокращения, и два приближения, которые мы только что вывели.

Точность приближений производит сильное впечатление. Общая форма кривой — дуга окружности, тянущаяся от единицы на малых скоростях к нулю на скорости света. Точность лучше 10 % получается для скоростей меньше 0,76 с по приближенной формуле, которую мы вывели в части а), и для скоростей больше 0,65 с по приближенной формуле, которую мы вывели в части b).

90. dНам нужно вычислить Лоренц-фактор для различных значений v . Для очень маленьких значений скорости мы воспользуемся приближением из части а), а для очень больших скоростей — приближением из части b) — для того и нужны приближения! Для v = 0,6 с и 0,8 с мы проделаем вычисления полностью, а также покажем результаты двух приближений —

и убедимся, что они прекрасно работают!

• v = 100 км/ч. Сначала переведем в метры в секунду; в километре 1000 метров, в часе — 3600 секунд, поэтому получается примерно 30 метров в секунду, или 10–7 с с точностью до одной значащей цифры. Тогда согласно приближению, которое мы вывели в части а), получим

2

1 v

15 y 1

1 5 10−

≈ −

= − ×

= 0.999999999999995.

2

2 c

Это множитель, на который время замедляется для водителя, мчащегося по скоростной автотрассе; он так близок к единице, что разница практически не заметна. Кроме того, отметим, что большинство калькуляторов считают недостаточно точно: отчасти поэтому так нужны приближенные формулы, которые мы только что вывели.

Здесь стоит подумать о количестве значащих цифр. Вы вправе сказать, что поскольку скорость здесь дана с точностью до одной значащей цифры, нужно указать у с той же точностью (то есть 1). Но самое интересное в у — его отличие от 1 (это отличительная черта специальной теории относительности), 314

Решения и в этом смысле следует указать с точностью до одной значащей цифры не у , а 1 — у .

2

• v = 30 км/с, или 10–4 с :

1⎛ v ⎞

1

8 y = 1− ⎜ ⎟ = 1− ×10− = 1−0,000000005 =

2 ⎝ c ⎠

2

= 0,999999995.

• v = 0,6 с :

2 y = 1− 0,6 = 1− 0,36 = 0,64 = 0,8. Приближение для малых v дает нам

1 y = − (2)

1

1

0,6 = 1− × 0,36 = 0,82; очень близко! При-

2

2 ближение для больших v дает y = 2(1−0,6) = 0,8 ≈ 0,9; не так уж и похоже на верный ответ.

• v = 0,8 с: y = (−)2

1 0,8 = 1− 0,64 = 0,36 = 0,6. Приближение для малых v дает нам

1 y = − (2)

1

1

0.8 = 1− × 0,64 = 0,68 — многовато.

2

2

Зато приближение для больших v дает y = 2(1−0,8) = 0,4 ≈ 0,63 —

весьма неплохо!

• v = 0,9999995 с: y

(

)

7

−

6

2 1 0,9999995

2 5 10

10−

=

−

=

× ×

=

=

3

10−

=

.

Последний результат заслуживает пояснения. Если двигаться со скоростью, достаточно близкой к скорости света, время может замедляться в

1000 раз. В следующей задаче исследуется физическая ситуация, в которой возможны такие огромные скорости.

91. Высокоскоростные мюоны

Рассмотрим задачу 90.d, где мы вычислили лоренцевское сокращение для такого значения скорости: оно равно 10–3. То есть время для мюона идет в 1000 раз медленнее, чем для нас. Тогда с нашей точки зрения срок жизни мюона будет в 1000 раз больше , то есть 2,2 10–3 с (срок жизни, деленный на лоренцевское сокращение). Какой путь преодолеет мюон с околосветовой скоростью? Свет проходит 1 фут в наносекунду, а срок жизни мюона

315

Решения

2,2 миллиона наносекунд, так что мюон пролетит 2,2 миллиона футов, или около 700 километров.

Если бы не эффекты СТО, срок жизни мюона составил бы обычные

2,2 микросекунды, поэтому частица успела бы преодолеть всего 1/1000 этого расстояния, то есть около 700 метров.

Таким образом, регистрация мюонов, преодолевающих 100 километров, служит прямым доказательством справедливости СТО: если бы Эйнштейн ошибался, мюоны, рожденные космическими лучами в верхних слоях атмосферы, не могли бы попасть на поверхность Земли.

92. Высокоэнергичные космические лучи

Учитывая выражение для полной энергии частицы, значение у в данном случае будет отношением энергии, соответствующей массе покоя протона, к полной энергии:

2 mc = y .

2 mc / y

Подставим числа и получим

9

10 эВ

12 y

3 10−

=

≈ ×

.

20

3×10 эВ

Это же совсем мало! Однако вычисления, проделанные при решении задачи 90.b, показали, что значение у равно 2(1− v / c ), поэтому мы можем найти v :

⎛ v ⎞

12

2⎜1− ⎟ = 3×10−

⎝

c ⎠

⎛ v ⎞

23

2⎜1− ⎟ = 10−

⎝

c ⎠

v

24

1 5 10−

= − ×

c v c (

24

1 5 10−

=

− ×

).

316

Решения

Решить эту задачу можно и другим способом, в сущности, изменив лишь место, где мы делаем приближение. Запишем

2

1 ⎛ v ⎞

−⎜ ⎟ = y .

⎝ c ⎠

Решение для v дает

2

⎛ v ⎞

2

1−⎜ ⎟ = y ,

⎝ c ⎠

2 v = c 1− y .

Значение у очень мало, следовательно, у 2 совсем крошечный. Можно прибегнуть к тому же приближению, что и в задаче 90.а, и записать уравнение в виде

⎛

1 2 v c ⎜1 y ⎞

=

−

⎟.

⎝

2 ⎠

(Внимательно следите за аккуратностью алгебраических преобразований на последнем этапе!) Подставив числа, получим, что у 2 10–23, и тогда скорость равна v c (

24

1 5 10−

=

− ×

),

как мы и получили раньше.

То есть частица двигалась почти со скоростью света — но не совсем. На таких высоких скоростях можно измерить только одну величину — энергию частицы, которая позволяет оценить у . Поскольку скорость такой частицы очень близка к скорости света, мы не можем измерить разницу между ее скоростью и скоростью света, засекая, сколько времени у частицы уходит на преодоление определенного расстояния.

Эйнштейн научил нас, что никакое тело не может развить скорость выше, чем скорость света в вакууме, и в самом деле, никакой массивный объект

(то есть тело, имеющее ненулевую массу покоя) не способен двигаться со скоростью света, поскольку при скорости света у = 0, а энергия частицы mc 2/ у

317

Решения стала бы бесконечной. Однако фотоны перемещаются со скоростью света.

Как же так? Дело в том, что у них нет массы покоя, то есть, если остановить фотон, он перестает существовать и высвобождает свою энергию. Фотон способен перемещаться только со скоростью света.

Как же зарегистрировать частицу космических лучей наподобие частицы

«О Боже мой», обладающую такой поразительно высокой энергией? Когда такая частица попадает в верхние слои атмосферы, она сталкивается с атомами, и ее кинетическая энергия (по Е = mc 2) конвертируется в колоссальное количество всевозможных новых частиц. Эти новые частицы также обладают большим количеством кинетической энергии и, сталкиваясь с атомами, порождают другие частицы. Вскоре первоначальная космическая частица создает целый каскад, ливень из частиц, которые попадают на поверхность