Джеймс Глик - Хаос. Создание новой науки

Выполняя расчетную часть своих исследований, которую едва ли можно было назвать экспериментом, Фейгенбаум одновременно пытался анализировать нелинейные функции с более традиционных, теоретических позиций. Но даже тогда он не смог увидеть всю полноту возможностей, что открывали уравнения. Тем не менее ученый понял, что возможности эти весьма сложны и анализ их окажется довольно трудоемким. Он также знал, что три математика из Лос-Аламоса – Николас Метрополиc Пол Стейн и Майрон Стейн – изучали в 1971году похожие отображения, и теперь Пол Стейн предупредил Фейгенбаума, что они в самом деле пугающе сложны. Если анализ результатов решения простейшего уравнения оказался столь трудным, чего же было ожидать от гораздо более запутанных формул, которыми ученые могли бы описывать реальные системы? И Фейгенбаум отложил проблему в долгий ящик.

Этот эпизод из краткой летописи хаоса, история, заварившаяся вокруг одного-единственного, безобидного, на первый взгляд, уравнения, показывает, какими разными глазами разные ученые смотрят на одну и ту же проблему [231]. Для биологов это уравнение несло свой смысл, заключающийся в том, что простые системы способны на сложное поведение. Для математиков Метрополиса и Стейнов вопрос заключался в создании совокупности топологических моделей вне всякой связи счисленными результатами [232]. Они начинали процедуру «обратной связи» в определенной точке и наблюдали, как следующие одно за другим значения «прыгают» по параболе с одного места на другое. Ученые записывали, на какую сторону параболы – правую или левую – попадала очередная точка, получая таким образом последовательности из букв Π и Л. Образец № 1 – Π [233]; образец № 2 – ПЛП; образец № 193 – ПЛЛЛЛЛППЛЛ. Математику подобные опыты могли поведать много интересного – казалось, что они всегда воспроизводят одну и ту же специальную последовательность, но физику они представлялись утомительными и довольно туманными.

В то время никто не догадывался, что еще в 1964 году Лоренц рассматривал то же уравнение, пытаясь разрешить один вопрос, касавшийся климата. Вопрос этот был столь глубок, что почти никому прежде не приходил в голову. Никто не задумывался, а существует ли климат, можно ли вывести долгосрочные средние значения погоды на земном шаре? [234]Тогда, как и сейчас, большинство метеорологов считали, что ответ очевиден: конечно, любая поддающаяся измерению величина – неважно, какие колебания она демонстрирует, – должна иметь некое среднее. Если же вдуматься, все далеко не так очевидно. Лоренц указывал, что средняя погода на Земле в течение последних двенадцати тысяч лет заметно отличалась от средних климатических условий предыдущих двенадцати тысяч лет, когда почти вся Северная Америка лежала под ледяным покровом. Значило ли это, что в силу каких-то физических причин произошел переход от одного климата к другому? Или упомянутые временные отрезки были периодами отклонений от стабильных долгосрочных погодных условий? А может, система, подобная погоде, никогда не сходится к среднему?

Лоренцу не давал покоя еще один вопрос. Допустим, мы можем записать полный набор уравнений, управляющих погодой на земном шаре. Допустим, нам ведомы законы самого Господа Бога. Можем ли мы использовать эти уравнения для расчета среднестатистического уровня температур или осадков? Если уравнения линейные – конечно можем. Но они нелинейны.

И поскольку Господь Бог не рассказал нам, какие использовал уравнения, Лоренц вынужден был изучить квадратичное разностное уравнение.

Как и Мэй, для начала Лоренц выяснил, что происходит, если задавать в уравнении разные значения параметра. При низких значениях числовой ряд достигал устойчивой фиксированной точки, то есть система производила модель климата в самом тривиальном из возможных смыслов: погода никогда не изменялась. Умеренный рост значения параметра провоцировал колебания между двумя точками, но и в этом случае система также сходилась к простому среднему. Но за определенной чертой Лоренц увидел проявления хаоса. Поскольку ученый занимался проблемой климата, его интересовало не только то, приведет ли обратная связь к периодическому поведению, – он хотел знать среднее значение полученного результата. И Лоренц выяснил, что среднее тоже подвержено колебаниям. Даже при незначительном варьировании параметра оно могло изменяться довольно существенно. Аналогично и земной климат мог никогда не знать прочного равновесия.

Как математический труд статья Лоренца о климате была неудачной – автор ничего не доказал в общепринятом смысле слова. Как физическое исследование она также не выдерживала критики, потому что не объясняла, почему такая простая модель позволяет сделать выводы о климате земного шара. Однако Лоренц был уверен в том, что хотел сказать. «Автор чувствует, что подобное сходство не простая случайность. Нам известно, что разностное уравнение охватывает многое если не в физике, то уж точно в математике, описывая переходы от одного режима к другому и фактически весь феномен нестабильности». Даже двадцать лет спустя никто не мог понять, какие интуитивные ощущения подвигли Лоренца на публикацию такого отчаянно смелого утверждения в шведском метеорологическом журнале Tellus . ( «Tellus! Да его же никто не читает!» – с горечью восклицали физики.) Лоренц стоял на пороге глубочайшего проникновения в особенности хаотических систем – слишком глубокого, чтобы его сущность можно было передать на языке метеорологии.

Продолжая изучать изменчивые лики динамических систем, Лоренц осознал, что эти системы, чуть более сложные, чем квадратичная, способны внезапно обнаруживать иные типы структур. Внутри отдельно взятой системы нередко таилось не одно устойчивое решение. Если экспериментатор наблюдал лишь один тип поведения на протяжении долгого времени, это не означало, что системе в равной мере не присущ совершенно иной тип поведения. Подобные системы именуют нетранзитивными; они могут находиться или в одном, или в другом состоянии равновесия, но никогда в обоих сразу, и лишь толчок извне способен заставить систему изменить свое состояние. Если искать примеры в обыденной реальности, часы с маятником являются как раз нетранзитивной системой. Энергия поступает в нее постоянно от подвеса или от батареи через механизм регулятора хода и с тем же постоянством уходит из-за потерь на трение. Очевидным состоянием равновесия являются устойчивые колебательные движения. Если кто-то, проходя мимо, толкнет часы, скорость колебаний маятника от кратковременного толчка увеличится или уменьшится, но он быстро вернется в состояние равновесия. Наряду с ним часы имеют и другое равновесное состояние (второе решение для уравнений их движения), когда маятник висит неподвижно. Менее тривиальной нетранзитивной системой, которой, возможно, свойственно несколько четко обозначенных и совершенно различных вариантов поведения, является климат.