Джеймс Глик - Хаос. Создание новой науки

Ученым, изучающим климат и использующим компьютерные программы для моделирования долгосрочного поведения атмосферы и гидросферы Земли, уже несколько лет назад стало известно, что их модели способны демонстрировать как минимум одно существенно иное состояние равновесия. Ни в одну из минувших геологических эпох этот альтернативный сценарий не был реализован, но он мог бы стать еще одним верным решением системы уравнений, управляющих земной погодой. Некоторые специалисты называют его климатом Белой Земли – планеты, континенты которой погребены под снегами, а океаны скованы льдом [235]. Ледовая корка отражала бы около 70 % солнечных лучей и оставалась бы чрезвычайно холодной. Нижний слой атмосферы – тропосфера – был бы гораздо тоньше. Штормы, проносившиеся над замерзшей поверхностью, уступали бы по силе тем бурям, что мы наблюдаем сейчас. В общем, подобный климат гораздо менее располагал бы к появлению и развитию той жизни, которую мы знаем сейчас. Компьютерные модели настолько часто приходят к состоянию Белой Земли, что ученые сами удивляются, почему оно никогда не наступало. Вероятно, это лишь дело случая.

Для того чтобы вся Земля оделась во льды, необходим мощный толчок извне. Но Лоренц описал еще один тип поведения, названный им квазинетранзитивностью. В течение длительного времени такая система ведет себя примерно одинаково, случайные изменения остаются в определенных границах; затем, без какой бы то ни было причины, система резко меняет свое поведение, все еще колеблясь, но обнаруживая уже другое среднее. Создатели компьютерных моделей прекрасно знают об открытии Лоренца, но стараются любой ценой избежать квазинетранзитивности, поскольку она слишком непредсказуема. Их естественная предвзятость заключается в том, чтобы строить модели, тяготеющие к тому равновесию, которое мы наблюдаем каждый день в реальной жизни. Значительные перемены в погодных условиях ученые склонны объяснять внешними причинами, например изменением орбиты обращающейся вокруг Солнца планеты. И все же не нужно много фантазии, чтобы увидеть в квазинетранзитивности вполне убедительные объяснения того, почему в истории Земли случались ледниковые периоды, наступавшие через странные, нерегулярные интервалы времени. Если это объяснение действительно верно, нет нужды доискиваться до физических предпосылок оледенения. Ледниковый период может быть побочным продуктом хаоса.

Как коллекционер огнестрельного оружия в эпоху автоматов с тоской вспоминает кольт сорок пятого калибра, так и в глубине души современного ученого таится легкая ностальгия по карманному калькулятору модели HP -65. За несколько лет полного господства этому вычислительному устройству удалось навсегда изменить привычки многих исследователей. Для Фейгенбаума же счетная машинка перекинула мостик от карандаша и бумаги к компьютеру, не сразу оцененному по достоинству учеными.

Он еще ничего не знал о Лоренце, но летом 1975 года на встрече в Аспене, штат Колорадо, услышал рассуждения Стива Смейла о некоторых математических свойствах тех самых квадратичных разностных уравнений [236]. Смейл считал, что имеются некоторые интересные и пока не разрешенные вопросы о том, в какой именно момент случается переход модели от периодического к хаотическому состоянию. Как всегда, Смейл отличался отменным чутьем на действительно стоящие проблемы. Фейгенбаум решил взглянуть на уравнение еще раз. Вооружившись калькулятором, он применил сочетание аналитической алгебры и численных методов, чтобы обозреть свою модель и главным образом пограничную зону между хаосом и стабильностью.

В поисках аналогий – но только лишь аналогий – Фейгенбаум мог обратиться к той таинственной границе, что отделяет плавное течение жидкости от турбулентного. Именно к этому участку Роберт Мэй пытался привлечь внимание биологов, которые не замечали, что популяции животных переживают не одни лишь упорядоченные циклы. На пути к хаосу в указанной зоне возникает целый каскад удвоения периодов: расщепление двух на четыре, четырех – на восемь и так далее, представляющее собой весьма удивительную картину. Именно в точках бифуркации некоторое изменение плодовитости особей могло привести к смене четырехгодичного цикла популяции непарного шелкопряда восьмигодичным. Фейгенбаум решил начать с подсчета точных значений параметра, порождавших расщепления.

В конце концов в тот август к открытию ученого привела, как ни странно, неспешность вычислений с помощью калькулятора. Казалось, расчеты точного значения параметра для каждого удвоения периодов занимают целую вечность, хотя на самом деле – считаные минуты. Однако чем выше поднимался Фейгенбаум по цепочке циклов, тем больше времени требовали операции с числами. Имей ученый мощный компьютер и печатающее устройство, он, пожалуй, не заметил бы никакой закономерности, но ему приходилось записывать результаты вручную и, пока калькулятор работал, размышлять над ними. Чтобы сэкономить время, он просто-напросто пытался угадать, каким будет следующее значение.

И вдруг Фейгенбаум увидел, что гадать уже незачем. В системе пряталась неожиданная упорядоченность: числам была присуща геометрическая сходимость, словно телеграфные столбы сходятся в точку на горизонте на рисунке в перспективе. Если вы знаете, какими хотите изобразить любые два столба, вы знаете и остальное: отношение второго к первому будет таким же, как отношение третьего ко второму и так далее. Удвоения периодов не просто ускорялись, а ускорялись с постоянным коэффициентом.

Почему так происходило? Обычно появление геометрической сходимости предполагает, что в определенном месте некий объект повторяет сам себя в различных масштабах. Но если внутри изучаемой системы и таилась подобная масштабируемая модель, ее еще никто не заметил. Рассчитав коэффициент сходимости с наибольшей точностью, какая могла быть достигнута с имевшимся у него калькулятором (три цифры после запятой), Фейгенбаум получил следующий результат: 4,669. Имел ли этот коэффициент какой-либо математический смысл? Фейгенбаум сделал то, что на его месте сделал бы любой ученый, интересующийся числами: он провел остаток дня, пытаясь подогнать получившийся результат под известные постоянные: π, е и другие, но это ни к чему его не привело.

Удивительно, но позже Роберт Мэй понял, что он тоже наблюдал подобную геометрическую сходимость, однако забыл о ней столь же быстро, сколь мимолетно она промелькнула перед его глазами [237]. С точки зрения эколога Мэя, это был не более чем специфический вычислительный эффект. В системах реального мира – популяциях животных и даже некоторых экономических моделях – любые четкие закономерности неизбежно исчезали в шумах. Та самая неупорядоченность, которая до сих пор служила ученому путеводной нитью, заставила его остановиться в критически важной точке. Мэй был взволнован вопиющим поведением уравнения. Никогда бы ему не пришло в голову, что числовые тонкости окажутся столь важными.