Джеймс Глик - Хаос. Создание новой науки

Но Фейгенбаум прекрасно понимал, к чему привели его вычисления, поскольку геометрическая сходимость указывала на присутствие в уравнении какого-то явления, связанного с масштабом, а Митчелл в полной мере сознавал существенность масштаба, от которого, по сути, зависела вся теория перенормировки. В явно неуправляемой системе масштабируемость свидетельствовала о том, что определенное качество сохраняется, в то время как все остальные претерпевают изменения. Итак, за турбулентной поверхностью уравнения скрывалась упорядоченность. Но где именно? Куда идти дальше, сказать было сложно.

Лето быстро сменяется осенью, которая сильно чувствуется в разреженном воздухе Лос-Аламоса. Уже подходил к концу октябрь, когда Фейгенбауму пришла в голову странная мысль. Он знал, что Николас Метрополис, Пол Стейн и Майрон Стейн, рассматривая среди прочих описанное выше уравнение, выяснили, что определенное поведение повторяется при переходе от одного типа функции к другому. Обнаруживались те же сочетания знаков – П и Л , причем в том же порядке [238]. Одна из исследованных ранее функций включала синус, из-за чего тщательно разработанный Фейгенбаумом подход к изучению параболы оказался неподходящим. Ему пришлось начать заново; вновь используя свой НР-65, он стал рассчитывать удвоения периодов для функции x t +1= r sin πx t . Расчет тригонометрической функции значительно замедлял вычислительную процедуру, и Фейгенбауму пришла в голову мысль использовать тот же прием, что и для более простого уравнения. Посмотрев на числа, он понял, что они снова сходятся геометрически. Оставалось лишь вычислить коэффициент сходимости для нового уравнения. И вновь, задав наибольшую возможную точность, он получил результат с тремя цифрами после запятой: 4,669.

То же число! Невероятно, но данная тригонометрическая функция не просто обнаруживала последовательную геометрическую регулярность. Она обнаруживала в точности такую же регулярность, как и гораздо более простая функция. Ни математика, ни физика не могли объяснить, каким образом два столь различных по форме уравнения приводили к одинаковому результату.

Фейгенбаум связался с Полом Стейном, но тот не поверил в подобное совпадение, посчитав доказательства недостаточными, – в конце концов, точность калькулятора оставляла желать лучшего. Несмотря на это, Фейгенбаум позвонил родителям в Нью-Джерси и сообщил, что столкнулся в своих исследованиях с чем-то весьма глубоким. Его решение, объявил он матери, скоро сделает его, Фейгенбаума, знаменитым. Затем он приступил к изучению других функций – всех, которые, по его мнению, также проходили через последовательность разветвлений на пути к хаосу. Вычисления давали неизменный итог: 4,669.

Фейгенбаум имел дело с цифрами всю свою жизнь. Еще подростком он научился рассчитывать логарифмы и значения синусов, которые все остальные искали в таблицах. Вместе с тем он даже не представлял, как использовать в исследованиях иное счетное устройство, кроме карманного калькулятора. В этом Митчелл был типичным физиком и математиком, которые презирали механистическое мышление, свойственное работе с компьютером. И вот час компьютера пробил. Фейгенбаум обратился к коллеге с просьбой научить его программированию на Фортране и уже к вечеру для каждой из множества взятых им функций подсчитал свою постоянную с точностью до пяти цифр после запятой: 4,Проштудировав ночью правила вычислений с двойной точностью, на следующий день Фейгенбаум получил значение 4,Этого было достаточно, чтобы убедить Стейна, но самого Митчелла все еще одолевали сомнения. Он планировал найти какую-то упорядоченность – это и значит «понять» с точки зрения математики, – однако с самого начала ученый знал, что разные типы уравнений, подобно разным физическим системам, ведут себя по-разному, проявляют свои характерные особенности. Фейгенбаум хорошо знал и квадратичные, и тригонометрические уравнения, с математической точки зрения вполне тривиальные. И все же в этих разных уравнениях содержалось нечто такое, что из раза в раз рождало одно-единственное число. Фейгенбаум определенно нащупал что-то: возможно, просто шутку мироздания, а возможно – новый закон природы.

Представьте себе такую ситуацию: доисторический зоолог решил, что некоторые объекты тяжелее остальных и обладают неким абстрактным качеством, которое он назвал весом. И вот он хочет эту идею научно исследовать. На самом деле наш экспериментатор никогда еще не измерял вес, но он думает, что у него есть некоторое представление, как это сделать. Он смотрит на огромных змей и крошечных змеек, на больших медведей и маленьких медвежат и догадывается, что вес животного, должно быть, связан каким-то образом с его размером. Построив весы, он начинает взвешивать змей. К его удивлению, все змеи весят одинаково. С медведями та же история, и это его уже пугает. Но что удивительнее всего – косолапые весят столько же, сколько змеи, – 4,6692016090! Ясно одно: вес является вовсе не тем, что предполагал зоолог. Вся идея требует переосмысления.

Струящиеся ручьи, качающиеся маятники, электронные осцилляторы и множество других физических систем испытывают переход на пути к хаосу. Хотя такие переходы весьма сложны для анализа, механизмы функционирования систем изучены довольно хорошо. Физики знают все уравнения, которые описывают эти системы, но перебросить мостик от уравнений к пониманию глобального долгосрочного поведения объектов не представляется возможным. К сожалению, уравнения для жидкостей и даже маятников являются куда большим испытанием, нежели простое одномерное логическое отображение. Открытие Фейгенбаума подсказывало, что дело не в уравнениях: с появлением порядка вид уравнения терял свою значимость и независимо от того, квадратичное оно или тригонометрическое, результат получался один и тот же. «Традиция физики такова, что мы обособляем механизмы явления, а затем исследуем их по отдельности, – пояснял Фейгенбаум. – Но все разваливается. Мы знаем верные уравнения, но они нам не помогут. Суммировав все микроскопические фрагменты, мы выясним, что не можем распространить их на длительный период, потому что не они важны в интересующей нас проблеме. И это коренным образом меняет смысл выражения „знать что-либо“» [239].

И хотя связь между вычислениями и физикой казалась весьма проблематичной, Фейгенбаум понял, что нужно искать новый способ расчетов сложных нелинейных проблем. До сих пор все доступные методы зависели от особенностей функций. Если функция была синусом, то и тщательно выполненные Фейгенбаумом расчеты тоже были синусовыми. Его открытие некой универсальности означало, что ни один из этих методов не подходит. Регулярность никоим образом не касалась синусов, не имела ничего общего с параболами или с другими отдельно взятыми функциями. Но почему? Это был шок! Природа, на мгновение отдернув занавес, позволила украдкой взглянуть на неожиданную упорядоченность. Но что еще пряталось за покровом тайны?