Чарльз Петцольд - Код. Тайный язык информатики

Научная нотация особенно полезна для представления очень больших и очень маленьких чисел, поскольку предусматривает использование степени числа 10, следовательно, позволяет обойтись без длинных строк нулей. В научной нотации следующие числа записываются следующим образом.

В этих двух примерах числа 4,9 и 2,6 называются дробной частью, или мантиссой (хотя этот термин более уместен для логарифмов). Однако я буду придерживаться компьютерной терминологии, называя этот фрагмент научной нотации значащей частью числа .

Порядок — это степень, в которую возводится число 10. В первом примере порядок равен 11, во втором — –10. Порядок показывает, на сколько мест был сдвинут десятичный разделитель в значащей части числа.

Существует соглашение, по которому значащая часть числа должна принадлежать интервалу от 1 (включительно) до 10. Несмотря на то что следующие числа равны, первый вариант представления является предпочтительным:

4,9 х 1011 = 49 х 1010 = 490 х 109 = 0,49 х 1012 = 0,049 х 1013.

Такая форма научной нотации иногда называется нормализованной [31].

Обратите внимание: знак показателя степени говорит только о порядке числа, но не о том, является ли оно отрицательным или положительным. Вот как выражаются отрицательные числа в научной нотации:

–5,8125 × 107 соответствует –58 125 000;

–5,8125 × 10–7 соответствует –0,00000058125.

В компьютерах вместо формата с фиксированной точкой используется формат с плавающей точкой , который идеально подходит для хранения малых и больших значений, поскольку основан на научной нотации. Однако применяемый в компьютерах формат с плавающей точкой подразумевает запись в научной нотации двоичных чисел, поэтому нам необходимо выяснить, как выглядят дробные числа в двоичном формате.

Все гораздо проще, чем может показаться. В десятичной записи числа цифры справа от десятичного разделителя соответствуют отрицательным степеням числа 10. В двоичной записи цифры справа от двоичного разделителя (который выглядит так же, как и десятичный) соответствуют отрицательным степеням числа 2. Давайте преобразуем двоичное число в десятичное.

101,1101 1 × 4 +

0 × 2 +

1 × 1 +

1 ÷ 2 +

1 : 4 +

0 : 8 +

1 : 16

Операции деления можно заменить умножением на отрицательные степени числа 2:

1 × 22 +

0 × 21 +

1 × 20 +

1 × 2–1 +

1 × 2–2 +

0 × 2–3 +

1 × 2–4.

Отрицательные степени числа 2 можно также рассчитать путем последовательного деления 1 на 2:

1 × 4 +

0 × 2 +

1 × 1 +

1 × 0,5 +

1 × 0,25 +

0 × 0,125 +

1 × 0,0625.

В результате этого вычисления находим, что десятичный эквивалент двоичного числа 101,1101 равен 5,8125.

В десятичной научной нотации нормализованная значащая часть числа должна быть больше или равна 1, но меньше 10. Таким же образом в двоичной научной нотации нормализованная значащая часть числа должна быть больше либо равна 1, но меньше числа 10, которое соответствует 2 в десятичной системе счисления. Выразим число в двоичной научной нотации.

101,1101 1,011101 × 22

Интересное следствие этого правила: слева от двоичного разделителя в нормализованном двоичном числе с плавающей точкой может стоять только 1.

У большинства современных компьютеров и программ, использующих числа с плавающей точкой, применяется стандарт, введенный в 1985 году Институтом инженеров электротехники и электроники (Institute of Electrical and Electronics Engineers, IEEE) и признанный Американским национальным институтом стандартов (American National Standards Institute, ANSI), — ANSI/IEEE Std 754–1985, стандарт IEEE для двоичной арифметики с плавающей точкой . В кратком описании этого стандарта, занимающем всего 18 страниц, хорошо изложены основы кодирования двоичных чисел с плавающей точкой.

Стандарт IEEE предусматривает два основных формата: число одинарной точности , занимающее в памяти четыре байта, и число двойной точности , занимающее восемь байт.

Сначала рассмотрим число одинарной точности. Оно состоит из трех частей: один бит отводится для знака (0 используется для положительного числа, а 1 — для отрицательного), восемь бит — для порядка, а 23 бита — для дробной значащей части числа, в которой самый младший бит — крайний справа.

1 знаковый бит ( s )

8 битов порядка ( e )

23 бита дробной значащей части ( f )

Итого 32 бита, или четыре байта. Поскольку в значащей части нормализованного двоичного числа с плавающей точкой слева от двоичного разделителя всегда стоит 1, соответствующий ей бит не включается при сохранении числа в формате IEEE. Сохраняется только 23-битная дробная часть . Несмотря на то что для хранения значащей части числа используется только 23 бита, считается, что точность равна 24 битам. Чуть позже мы разберемся в том, что это значит.

Значение 8-битного порядка находится в диапазоне от 0 до 255. Такой порядок называется смещенным . Для нахождения истинного значения порядка с учетом знака необходимо вычесть из него число, называемое смещением . Для чисел одинарной точности с плавающей точкой смещение порядка равно 127.

Значения порядка 0 и 255 используются в особых случаях, о которых расскажу чуть позже. Если значение порядка принадлежит диапазону от 1 до 254, то число, представленное конкретными значениями s (бит знака), e (порядок) и f (дробная часть), равно:

(–1)s × 1, f × 2е − 127.

Выражение (–1)s используется для определения знака числа. Если s равно 0, то число положительное (поскольку любое число в степени 0 равно 1), если s равно 1, то число отрицательное (поскольку –1 в степени 1 равно –1).

Следующая часть выражения 1, f представляет 1, за которой следует двоичный разделитель и 23-битная дробная значащая часть. Все это умножается на 2, возведенное в степень, значением которой является разность хранящегося в памяти 8-битного смещенного порядка и числа 127.

Я не упомянул о способе выражения такого распространенного числа, как 0. Похоже, о нем мы и забыли. Для этого предусмотрено несколько особых случаев:

если e равно 0, f равно 0, то число равно 0; как правило, для представления числа 0 во все 32 бита записываются нули, однако бит знака может быть равен 1, и в этом случае число интерпретируется как отрицательный ноль ; бит может обозначать очень маленькое отрицательное число, для представления которого с одинарной точностью доступных цифр и порядков недостаточно;

если e равно 0, а f не равно 0, то число является действительным, но не нормализованным:

(–1)s × 0, f × 2–127;

обратите внимание на 0 слева от двоичного разделителя значащей части;

если e равно 255, а f равно 0, то число символизирует положительную или отрицательную бесконечность — в зависимости от знака s ;