Чарльз Петцольд - Код. Тайный язык информатики

Следующий уровень сложности при использовании чисел с плавающей точкой связан с вычислением квадратных корней, степеней, логарифмов и тригонометрических функций. Однако все эти задачи можно решить с помощью четырех основных операций: сложения, вычитания, умножения и деления.

Например, такая тригонометрическая функция, как синус, вычисляется с помощью разложения в ряд.

Аргумент x должен выражаться в радианах , где 360° — это 2π радиан, восклицательный знак — факториал числа, или произведение всех целых чисел от 1 и до этого числа. Например, 5! = 1 × 2 × 3 × 4 × 5. В данном случае все сводится к простому умножению. Возведение числителей дробей в степень тоже предполагает умножение. Остальными операциями являются деление, сложение и вычитание. Единственная по-настоящему сложная часть — многоточие в конце выражения, означающее, что это вычисление может продолжаться бесконечно . На практике если вы ограничитесь диапазоном от 0 до π/2 (из которого можно вывести все остальные значения синуса), то сможете избежать лишних вычислений. Вам достаточно десятка слагаемых в этом разложении для получения 53-битных значений двойной точности.

Если учесть, что компьютеры предназначены для того, чтобы облегчать людям жизнь, может показаться, что написание множества подпрограмм для выполнения арифметических операций с плавающей точкой противоречит цели их создания. Однако в этом вся прелесть программного обеспечения. Написанные кем-то подпрограммы для конкретного компьютера могут использоваться другими людьми. Арифметика с плавающей точкой настолько важна для научных и инженерных приложений, что ей традиционно придается огромное значение. На заре компьютерной эры при создании программного обеспечения для нового типа компьютеров написание подпрограмм для выполнения расчетов с плавающей точкой было одной из первоочередных задач.

Целесообразно разработать машинные инструкции специально для выполнения вычислений с плавающей точкой! Очевидно, это легче сказать, чем сделать, однако важность такой задачи трудно переоценить. Если вы сможете реализовать арифметику с плавающей точкой на уровне аппаратного обеспечения, подобно командам умножения и деления в 16-разрядных микропроцессорах, то все вычисления с плавающей точкой будут выполняться компьютером гораздо быстрее.

Первым коммерческим компьютером, в котором вычисления с плавающей точкой могли осуществляться на аппаратном уровне, был IBM 704, выпущенный в 1954 году. Все числа в нем хранились в виде 36-битных значений. Числа с плавающей точкой разбивались на 27-битную значащую часть, 8-битный порядок и однобитный знак. Специальные аппаратные компоненты для расчетов с плавающей точкой могли выполнять операции сложения, вычитания, умножения и деления. Остальные функции реализовывались в программном обеспечении.

В настольном компьютере аппаратное обеспечение для вычислений с плавающей точкой появилось в 1980 году, когда компания Intel выпустила чип 8087. Интегральные микросхемы такого типа в наши дни называются математическими сопроцессорами , или блоками вычислений с плавающей точкой . Микросхема 8087 была названа со процессором, поскольку не могла работать сама по себе. Ее можно было использовать только в сочетании с первыми 16-разрядными микропроцессорами Intel 8086 и 8088.

Сопроцессор 8087 — микросхема с 40 выводами, которая использует многие из тех же сигналов, что и микропроцессоры 8086 и 8088. С помощью этих сигналов микропроцессор и математический сопроцессор взаимодействуют. Когда ЦПУ считывает специальную команду ESC (Escape), сопроцессор перехватывает управление и выполняет следующий машинный код, соответствующий одной из 68 команд для вычисления тригонометрических функций, степеней, логарифмов и т. д. Типы данных основаны на стандарте IEEE. В свое время сопроцессор 8087 считался самой сложной интегральной схемой.

Сопроцессор можно назвать небольшим автономным компьютером. В ответ на получение конкретной машинной инструкции для выполнения операции с плавающей точкой (например, команды FSQRT для вычисления квадратного корня) сопроцессор выполняет собственную последовательность команд, сохраненных в ПЗУ. Эти внутренние команды называются микрокодом . Как правило, эти вычисления осуществляются с помощью цикла, поэтому их результат предоставляется не сразу. Тем не менее математический сопроцессор обычно решает задачи по меньшей мере в десять раз быстрее, чем эквивалентные процедуры, реализованные в виде ПО.

Материнская плата первого компьютера IBM PC предусматривала 40-контактное гнездо для микросхемы 8087 рядом с процессором 8088. К сожалению, это гнездо было пустым. Пользователям, которым требовалось ускорить операции с плавающей точкой, приходилось приобретать микросхему 8087 отдельно и самостоятельно устанавливать ее. Однако даже после установки математического сопроцессора не все приложения начинали работать быстрее. Некоторые программы, например текстовые редакторы, практически не нуждаются в вычислениях с плавающей точкой. Другие программы, вроде электронных таблиц, могут выполнять подобные вычисления гораздо чаще, поэтому они должны работать быстрее, однако от использования этой микросхемы скорость работы увеличивалась далеко не у всех приложений.

Дело в том, что программистам нужно было писать специальный код для использования машинных инструкций сопроцессора. Поскольку математический сопроцессор не являлся стандартным компонентом аппаратного обеспечения, многие себя этим не утруждали. В конце концов им все равно приходилось писать собственные подпрограммы для вычислений с плавающей точкой (поскольку у большинства пользователей не было математического сопроцессора), поэтому микросхема 8087 не освободила их от лишней работы, а наоборот, выявила дополнительные задачи. Со временем программисты научились писать приложения для использования математического сопроцессора, если он входил в состав компьютера, и эмулировать его работу, если не входил.

В дальнейшем компания Intel также выпустила математические сопроцессоры 287 и 387 для микропроцессоров 286 и 386 соответственно. В 1989 году появился процессор Intel 486DX, в который сопроцессор был встроен. С тех пор он перестал быть дополнительным компонентом. К сожалению, в 1991 году Intel сконструировала более дешевый микропроцессор 486SX без встроенного сопроцессора, а также отдельный математический сопроцессор 487SX. Однако с изготовлением процессора Pentium в 1993 году встроенный сопроцессор снова стал стандартом, вероятно навсегда. Компания Motorola интегрировала сопроцессор в микросхему 68040 в 1990 году. До этого Motorola продавала математические сопроцессоры 68881 и 68882 для изготовленных ранее микропроцессоров семейства 68000. Микросхемы PowerPC также предусматривают встроенный сопроцессор для выполнения вычислений с плавающей точкой.