Рудольф Ташнер - Число, пришедшее с холода. Когда математика становится приключением

Рис. 3. Тень Земли так покрывает диск полной Луны, что размер округлого края тени соответствует размеру монеты достоинством 1 евро, удаленной на расстояние 75 см от глаза. Отсюда можно грубо оценить расстояние от Земли до Луны

Зная расстояние от Земли до Луны, можно — по крайней мере, так думал живший до Эратосфена астроном Аристарх — определить и расстояние от Земли до Солнца. Когда на дневном небосводе видна ровно половина Луны, достаточно, по мысли Аристарха, измерить угол между зрительным лучом, направленным на Солнце, и зрительным лучом, направленным на Луну. Дело в том, что на Луне угол между лучами зрения, направленными на Солнце и на Землю, является прямым. Зная угол треугольника, образованный двумя сторонами, в концах которых находятся Луна — Земля и Земля — Солнце соответственно, можно определить форму треугольника. Если же известна одна сторона этого прямоугольного треугольника — в нашем случае это сторона, соответствующая расстоянию от Луны до Земли, — то можно легко вычислить длины двух других сторон.

Рис. 4. Принцип измерения расстояния от Земли до Солнца по Аристарху: когда Луна освещена в точности наполовину, направление зрительного луча от Земли до Луны составляет прямой угол с направлением зрительного луча, направленного от Луны к Солнцу. Если теперь измерить угол между лучом, соединяющим Землю и Луну, и лучом, соединяющим Землю и Солнце, то можно получить углы прямоугольного треугольника. Исходя из известной длины одной стороны этого треугольника и его углов, можно посчитать, во сколько раз расстояние от Земли до Солнца превышает расстояние от Земли до Луны. Правда, измеренный угол между направлениями от Земли до Луны и от Земли до Солнца настолько близок к прямому, что Аристарх не смог получить достоверные данные

Теоретически метод Аристарха безупречен. Но при попытке его практического применения он оказывается невыполнимым. Угол между направлением зрительной оси от Земли до Луны и направлением зрительной оси от Земли до Солнца очень мало отличается от прямого. Аристарх не мог измерить эту разницу с помощью доступных ему методов измерения углов. Направления лучей от Солнца до Луны и от глаза до Солнца оказывались практически параллельными. Таким образом, ясно, что Солнце находится от Земли на расстоянии, многократно превышающем расстояние от Земли до Луны. Аристарх считал, что в девятнадцать раз. Однако он сильно ошибся. Солнце располагается от Земли дальше, чем Луна, приблизительно в 400 раз.

Это расстояние приблизительно равно 150 миллионам километров. Произнести число 150 миллионов легко, но едва ли нам удастся вообразить себе такое расстояние наглядно. Достаточно ли сказать, что надо обогнуть Землю 3750 раз, чтобы преодолеть это немыслимо огромное расстояние? Или вспомнить о том, что свету, который каждую секунду преодолевает 300 тысяч километров, требуется около восьми минут для того, чтобы преодолеть расстояние от Солнца до Земли? Все это соответствует действительности, но превосходит силу нашего воображения.

Но с удаления от Земли до Солнца астрономические расстояния только начинаются. Самые близкие к нам звезды расположены от нас в 250 тысяч раз дальше, чем Солнце. Это приблизительно 40 триллионов километров. Свет в течение одного года преодолевает расстояние, равное девяти с половиной триллионам километров, и именно это расстояние для краткости очень мило называют «световым годом». Это необходимое сокращение, ибо, например, Млечный Путь, этот звездный остров, составленный из миллиардов звезд, одной из которых является наше Солнце, имеет диаметр около ста тысяч световых лет. Этот звездный остров называется галактикой. Ближайшая следующая галактика — туманность Андромеды. Она удалена от нас на расстояние около двух миллионов световых лет, но в ясную звездную ночь ее можно различить на небосводе невооруженным глазом в виде расплывчатой светящейся точки. В привычных единицах измерения это расстояние соответствует более чем 18 квинтиллионам километров — числу, напоминающему число зернышек риса из рассказа о мудреце и магарадже.

Но и это всего лишь начало рассказа космологов о величине мирового пространства. В нем таких галактик, таких звездных островов, как Млечный Путь или туманность Андромеды, насчитывается больше 100 миллиардов. С помощью мощнейших наземных телескопов и телескопов, установленных на искусственных спутниках Земли, астрономы наблюдают немыслимые бездны мироздания. Теоретически с помощью этих устройств можно проникнуть взором на расстояние почти 50 миллиардов световых лет, а дальше начинается «горизонт событий Вселенной», за который, если верить общей теории относительности Эйнштейна, мы не можем заглянуть даже с помощью самой совершенной аппаратуры. Если выразить 50 миллиардов световых лет в километрах, то получается число 450 секстиллионов километров.

Опять-таки произнести это легко, но наглядно представить невозможно.

Огромные расстояния космоса побудили Архимеда к тому, чтобы вычислить самое большое число, существующее на Земле. Архимед придерживался того мнения, что, несмотря на некоторый смысл, все же было бы бесполезно говорить о числах, больших, чем число самых мелких частиц, которые могут уместиться во всей Вселенной.

По мнению Архимеда, самая мелкая из всех частиц — песчинка. Вероятно, что все же в виду имелась пылинка, потому что Архимед исходил из мысли о том, что в маковом зернышке может поместиться не больше десяти тысяч песчинок. Если положить рядом 25 маковых зернышек, то получится ширина пальца. Для верности Архимед несколько уменьшил размер макового зернышка и сделал его таким, что сорок зернышек, положенных в ряд, составят отрезок длиной один сантиметр. Представим себе маковое зернышко в виде куба с длиной ребра четверть миллиметра. Значит, объем этого кубика будет равен 0,016 кубического миллиметра. Архимед сделал его еще меньше, приравняв к 0,01 кубического миллиметра. Это зернышко может вместить десять тысяч песчинок. Таким образом, песчинка, которая, по Архимеду, является самой мелкой частицей во Вселенной, имеет крошечный объем, равный 0,000001 кубического миллиметра. Другими словами, в одном кубическом миллиметре может уместиться миллион песчинок.

Итак, наибольшее число во Вселенной — это песчаное число, то есть число песчинок, способных уместиться во Вселенной.