Рудольф Ташнер - Число, пришедшее с холода. Когда математика становится приключением

Так продолжалось много недель и месяцев — до тех пор, пока мудрец не сказал магарадже, что считает выполненной свою миссию в его стране и хочет вернуться в свое горное убежище.

— Но я не могу отпустить тебя без награды, — возразил магараджа, — подумай, какой награды ты хочешь, и ты получишь ее, как бы велика она ни была. Ты избавил меня от печали и скорби, и никакая награда за это не может быть слишком большой.

— Я могу попросить самую большую, неизмеримую награду? — уточнил мудрец. Магараджа энергично кивнул, и мудрец положил на первую клетку шахматной доски рисовое зернышко. — На следующую клетку пусть положат два зернышка, а потом на каждую следующую клетку пусть укладывают вдвое больше зерен, чем на предыдущих. Я заберу весь рис, который покроет шахматную доску.

— Ты требуешь такой малости? — возмутился магараджа, но быстро успокоился, решив, что мудрец был бедняком, никогда не видел богатства и поэтому даже миска риса для него — целое состояние. Позвали слугу с ложкой рисовых зернышек, и он начал укладывать их, начиная с левого верхнего угла, по оговоренным правилам, то есть на каждую следующую клетку он клал вдвое больше зерен, чем было на предыдущей. Таким способом слуга заполнил первый ряд из восьми клеток:

1, 2, 4, 8, 16, 32, 64, 128.

После того как слуга заполнил восемь клеток первого ряда, уложив на последнюю клетку 128 зерен (а всего он насчитал 255 зерен), ложка опустела. Поэтому на первую клетку второго ряда пришлась целая ложка рисовых зерен. Каждой следующей клетке соответствовало вдвое большее количество риса. Для восьми клеток второго ряда получилось следующее количество ложек:

1, 2, 4, 8, 16, 32, 64, 128.

Сто двадцать восемь ложек — это горшок риса. Теперь рис в зал стали носить уже несколько слуг. Для шести клеток третьего ряда вышло

1, 2, 4, 8, 16, 32, 64, 128

горшков риса. Только теперь до магараджи дошло, что мудрец запросил очень много риса, ибо 128 горшков риса соответствовали одному тяжелому, 50-килограммовому мешку. Теперь потребные количества риса приходилось отмерять именно такой мерой. Для восьми клеток четвертого ряда вышло

1, 2, 4, 8, 16, 32, 64, 128

полновесных стокилограммовых мешков риса. Последней восьмой клетке соответствовало количество риса, которого хватило бы на полную загрузку каравана из дюжины запряженных быками телег.

Урожай риса в стране магараджи был в тот год просто феноменально велик, и он надеялся, что ему хватит риса, чтобы расплатиться с мудрецом. Однако прикинув, сколько риса потребуется для того, чтобы заполнить клетки пятого ряда, магараджа сдался. В его государстве просто не хватило бы для этого риса.

Мудрец знал это — во всяком случае, приблизительно. Для того чтобы оценить, сколько рисовых зерен потребуется для заполнения всех клеток шахматной доски, мудрец воспользовался свойствами цифры ноль. На первой клетке находилось одно зернышко, а затем с каждой клеткой число зерен удваивалось. Число зерен на следующих десяти клетках распределилось так:

2, 4, 8, 16, 32, 64, 128, 256, 512, 1024.

Таким образом, на одиннадцатой клетке оказалось 1024 зернышка. Будем щедрыми, и округлим это число с недостатком до 1000 зернышек. Тогда для следующих десяти клеток мы получим следующий ряд чисел:

2, 4, 8, 16, 32, 64, 128, 256, 512, 1024,

каждое из которых надо умножить на тысячу. Если мы, проявив неслыханную щедрость, снова округлим последнее число до 1000, то на двадцать первой клетке окажется больше 1000 × 1000 = 1 000 000 = 106 зерен. То же самое будет происходить и дальше: еще через десять клеток, на тридцать первой из них, уже окажется больше 1000 × 106 = 109 зерен; на сорок первой клетке получится больше 1000 × 109 = 1012 зерен; на пятьдесят первой клетке будет уже 1000 × 1012 = 1015 зерен, а на шестьдесят первой клетке мы получим больше 1000 × 1015 = 1018 зерен. Это уже больше одного квинтиллиона рисовых зерен. На шестьдесят второй, шестьдесят третьей и шестьдесят четвертой клетках будет, соответственно, больше двух, четырех и восьми квинтиллионов рисовых зерен.

Таким образом, на всей шахматной доске окажется больше 16 квинтиллионов зерен. Для любящих точность [3]скажу, что сумма всех этих чисел на шахматной доске равна 18 446 744 073 709 551 615!

Чем же закончилась эта история о мудреце и магарадже? Этого мы не знаем. Возможно, что потрясенный магараджа, поняв, что не сумеет все же набрать и больше 16 квинтиллионов зерен риса, сказал мудрецу:

— Ты не сможешь спрятать столько зерна в своем убежище в горах и даже перевезти его туда, даже если я дам тебе всех своих слуг!

— Ты прав, это немыслимо, — ответствовал мудрец. — Из этого риса получилась бы огромная пирамида, наподобие пирамид в Гизе, в далеком Египте. Но моя пирамида получилась бы несравненно выше — не 140 метров, как пирамида Хеопса, а почти пять километров. Пирамида из риса могла бы вместить 40 тысяч пирамид Хеопса.

После этого в зале повисло долгое молчание, а потом мудрец обратился к властителю:

— Для меня, о великий магараджа, большой наградой стала возможность не только научить тебя игре в шахматы, но и показать, какая мощь кроется за большими числами, и я вполне удовольствуюсь такой наградой.

С этими словами мудрец поклонился и покинул зал, дворец и страну магараджи.

Никто точно не знает, как появились числа в первобытные, доисторические времена. Но можно с полной уверенностью утверждать, что первыми открытыми человеком числами стали не один и не два. Люди не могли считать единицами и двойками. Два одинаковых предмета человек воспринимал как пару. Для того чтобы сосчитать эти предметы, человеку не надо было тыкать в них пальцами со словами: «Один, два». Вероятно, «три» было первым и поначалу единственным числом. Первобытный человек видит пару предметов и еще один присоединенный к ней предмет. Таким образом, «три» — это «пара плюс один». Судя по всему, человеку, стоявшему лишь на пороге мышления, стоило большого труда умственно постичь суть этой операции. Три было для него очень много; недаром во французском языке родственны между собой слова très , обозначающее «очень», и trois , обозначающее «три». Четвертый предмет превосходил воображение человека каменного века. Такое количество уже обозначали словом «много». С такой точки зрения можно думать, что три в те незапамятные времена было не только первым, но и самым большим числом. Первобытный человек считал так: «одна пара и еще один: три». Потом он считал, как в известной песенке: «Один, два, три». По ритмике эта фраза, наверное, напоминала спортивную команду: «На старт, внимание, марш!» С выражением «один, два, три» наряду с древним словом «три» родились числа один и два.