Рудольф Ташнер - Число, пришедшее с холода. Когда математика становится приключением

В этой своеобразной истории египтяне открыли дроби

Слово «дробь» оказалось в этом контексте как нельзя более подходящим, ибо речь шла о раздробленном глазе Гора.

Мы не знаем, слышал ли Архимед историю о разбитом глазе и бывал ли он вообще в Египте. Однако, если ему удалось услышать эту чудесную историю, он, вероятно, задал себе вопрос: что будет, если бог Тот не остановится на шестом фрагменте, а продолжит исцеление глаза дальше? Каждый следующий фрагмент был вдвое меньше предыдущего; глаз разбился на бесконечное число осколков. Удалось бы Тоту воссоздать глаз целиком?

Конечно нет, несомненно ответил бы Архимед, ибо, какое терпение ни проявил бы Тот, присоединяя все новые и новые осколки, всегда оставались бы и другие, бесчисленные осколки, которые следовало бы вставить. Но Архимед понимал и другое: чем прилежнее работал бы Тот, тем лучше становилась бы его работа, ибо чего бы не хватало, когда бы он, после тяжких трудов, завершил бы наконец свою работу? Не хватало бы той малой части глаза, которая была бы равна наименьшей доле, которую бы Тот вставил последней. Дефект с каждой новой вставленной частью становился вдвое меньше и со временем стал бы пренебрежимо малым. Если бы Тот вставил первые 64 осколка, то остался бы дефект, в точности равный

то есть дефект был бы меньше одной восемнадцатиквинтиллионной части целого глаза. Как при этом не вспомнить историю о магарадже, мудреце и шахматной доске, на 64 клетки которой надо было уложить рисовые зернышки — на каждую следующую клетку вдвое больше, чем на предыдущую?

Таким образом, мы имеем полное право вложить в уста Архимеда следующий ответ: чем больше терпения проявит Тот в исцелении глаза Гора, тем лучше будет результат его работы; останется лишь очень малый дефект, который сам Гор будет воспринимать как крошечное «слепое пятно», и его Тот, если захочет, сможет сделать еще меньше.

Как в отношении Архимеда, так и Ньютона или Лейбница, мы не знаем, слышали ли они историю о разбитом глазе бога Гора. Но мы можем совершенно точно сказать, что оба открывателя «исчисления» дали бы, в отличие от Архимеда, куда более непринужденный ответ на вопрос о том, удалось бы Тоту довести свою работу до конца и полностью восстановить святое око Гора.

Конечно да, ответили бы и Ньютон, и Лейбниц, ибо они вполне могли себе представить, что Тот — а богам часто удается то, что кажется немыслимым для людей, — мог работать над восстановлением глаза Гора бесконечно долгое время и поэтому вставить в глазницу не шесть первых фрагментов, а бесконечно большое их множество, и тогда он получил бы целый глаз без единого дефекта. В виде формулы это можно записать так:

Чудовищное количество следующих дробей скромно представлено в этой формуле многоточием (…) после последнего знака плюс. Эти точки, по Ньютону и Лейбницу, символизировали бесконечное множество дробей, каждая из которых была вдвое меньше предыдущей и вдвое больше следующей, и все эти дроби надо было сложить друг с другом. Никто, однако, не сможет осуществить сложение бесконечного множества слагаемых. Это невозможно сделать ни в голове, ни на бумаге карандашом, ни на бухгалтерских счётах, ни даже с помощью самого современного компьютера.

Открывателям «исчисления» все это было, без сомнения, понятно, но они полагали, что, если мы, слабые, несовершенные люди, можем сложить лишь конечное число слагаемых, то всемогущий Бог — для Ньютона и Лейбница это был не один из египетских богов, а христианский Бог — в неизреченной мудрости своей может сделать это без проблем. Втайне они были очень горды тем, что с помощью «исчисления» им, по меткому выражению Эйнштейна, удалось «заглянуть в карты старика», проникнуть в тайны Всемогущего с помощью обхождения с бесконечностями.

Как действовали открыватели «исчисления»? Они говорят, что мы хотим вычислить бесконечную сумму

Здесь надо сложить бесконечное множество слагаемых. Первое слагаемое равно ½, а каждое следующее слагаемое вдвое меньше предыдущего. Уберем из суммы первое слагаемое, а именно ½, и у нас останется

Совершенно очевидно, что это ровно половина от предыдущей суммы. Эта половина ровно на одну вторую меньше предыдущей суммы. Следовательно, предыдущая сумма равна в точности единице, ибо если из единицы вычесть одну вторую, то останется одна вторая, а это ровно половина единицы.

Тот, кто читает это в первый раз, будет вначале несколько обескуражен, потому что этот аргумент выглядит как шулерский трюк. Однако если прочитать все это медленно и несколько раз, то можно проникнуться ходом мыслей и убедиться в безупречной, впечатляющей логике этой последовательности рассуждений.

Кого эта логика точно бы не впечатлила, так это Архимеда. Его толкование было более убедительным: с одной стороны, каждая конечная сумма фрагментов уджата меньше единицы. С другой стороны, каждое число, меньшее единицы, будет превзойдено конечной суммой долей уджата, если Тот добавит достаточное количество новых фрагментов. Таким образом, сумма долей уджата приближается к числу 1 с любой произвольной степенью точности. Большего об этой сумме сказать нельзя.

То, что Архимед прав в своем скепсисе, показывает следующий пример другой бесконечной суммы, а именно:

1 + 2 + 4 + 8 + 16 + …

Если мы примем сторону открывателей «исчисления», то аналогичный ход мыслей выглядит так: мы хотим вычислить бесконечную сумму, утверждают Ньютон и Лейбниц. Для этого надо сложить бесконечное число слагаемых. Первое слагаемое равно единице, а каждое следующее слагаемое вдвое больше предыдущего. Уберем первое слагаемое, и у нас останется

2 + 4 + 8 + 16 + 32 + …

Совершенно очевидно, что здесь мы имеем двойную величину предыдущей суммы. И эта двойная величина на единицу меньше предыдущей суммы. Следовательно, она равна –1, ибо если из –1 вычесть 1, то останется –2, то есть величина, вдвое большая чем –1.

Этот аргумент слово в слово повторяет вышеприведенный аргумент. Тот, кто убедился в правильности предыдущих рассуждений, должен признать и корректность этих. Однако аргументация изобретателей «исчисления» приводит к поистине парадоксальному выводу: