Микаэль Лонэ - Большой роман о математике. История мира через призму математики

Однако будьте внимательны, потому что в нашей новой теории некоторые свойства, которые мы использовали раньше, могут стать ложными. Например, результат может отличаться в случае изменения порядка элементов в бомбеллиации: ♥ ✳ ♦ = ♪ в то время как ♦ ✳ ♥ = ♦. В этом случае говорят, что операция не коммутативная.

Присмотревшись внимательнее, вы обнаружите некоторые более общие свойства. Например, при бомбеллиации элемента с самим собой результат будет равен этому элементу: ♥ ✳ ♥ = ♥, ♦ ✳ ♦ = ♦, ♣ ✳ ♣ = ♣ и так далее. Эту закономерность можно считать первой теоремой нашей новой теории!

В общем, принцип должен быть вам понятен. Если вы хотите создать ваши собственные теоремы – пожалуйста. Разумеется, вы можете взять такое количество элементов, какое пожелаете. Даже бесконечное их число, если захотите. Вы можете создать более сложные системы, как и в случае целых чисел, которые не имеют специального символа, а составлены из десяти индийских цифр. Вы можете затем создать правила подсчета, которые будут выступать в роли аксиом в вашей теории. Например, определяя свойства вашей алгебраической системы, можно сделать операции коммутативными.

Разумеется, не стоит обманывать себя, рассчитывая на то, что ваша теория останется в истории. Не все математические модели одинаковые! Некоторые из них являются более полезными и важными, чем другие. Создавая таблицу с действиями случайным образом, помните: есть большая вероятность, что эта система окажется совершенно неинтересной. Если же это не так, то можно держать пари, что другие математики уже изучили ее до вас. Нужно, так или иначе, отдавать себе отчет в том, что математика – это призвание!

Как распознать интересную теорию? На протяжении всей истории для этого существовало два критерия, которыми руководствовались математики в своих исследованиях: применимость и красота.

Применимость – это, разумеется самый очевидный фактор. Возможность использовать результат проведенной работы – это первоочередной критерий с математической точки зрения. Числа полезны, так как и их помощью можно считать и осуществлять торговлю. Геометрия позволяет измерять различные величины. С помощью алгебры можно решать проблемы повседневной жизни.

Красота – это менее конкретная характеристика. Как математическая теория может быть красивой? Это еще можно понять в отношении геометрии, где определенные фигуры могут быть визуально оценены как произведения искусства. В качестве примера можно привести орнаменты из Месопотамии, Платоновы тела или мощение Альгамбры. Но в алгебре? Может ли алгебраическая структура в самом деле быть красивой?

Долгое время я считал, что понимание элегантности и поэзии математических объектов – это привилегия немногих специалистов, истинных ценителей, которые провели достаточно времени за изучением различных теорий и со зрелым пониманием вопроса могли бы поистине насладиться красотой математики. Я заблуждался и уже совсем скоро смог убедиться, что даже новички и очень маленькие дети могут осознать это чувство элегантности.

С одним очень ярким примером я однажды столкнулся на занятиях первоклассников. Детям в классе было около семи лет. Им необходимо требовалось распределить треугольники, квадраты, прямоугольники, пятиугольники, шестиугольники и фигуры других форм в соответствии с заданными критериями. Детям предложили подсчитывают число сторон и число вершин этих фигур. У треугольников было три стороны и три вершины, у квадратов и прямоугольников – четыре стороны и четыре вершины и так далее. При составлении этого списка дети быстро заметили теорему: многоугольник имеет равное количество сторон и вершин.

На следующей неделе для анализа были выбраны фигуры более причудливой формы, в том числе приведенный ниже пример.

Возникает вопрос: сколько сторон и сколько вершин у этой фигуры? Большинство в классе говорят, что четыре стороны и три вершины. Развернутый угол на рисунке выше не формирует вершины. Он не острый. Это вообще скорее впадина, чем вершина. Таким образом, в отношении этого вогнутого угла неприменимо утверждение о свойстве сторон и вершин многоугольников, описанное выше. Попросить их назвать эту точку значит заставить дать название новому явлению! Какая идея! Дети начинают обсуждать этот вопрос. У учеников возникают различные идеи в отношении данной точки. Нужно ли давать ей другое имя? Следует ли вообще об этом задумываться? Приводятся аргументы как за, так и против, но в целом, похоже, не удается собрать большинство.

И вдруг один их первоклассников вспоминает теорему. Если это не вершина, то мы больше не можем утверждать, что любой многоугольник имеет одинаковое количество сторон и вершин. К моему удивлению, именно этот аргумент объединяет класс. Уже через мгновение все были согласны: необходимо считать эту точку вершиной. Эта теорема достаточно проста и наглядна, но и она, к сожалению, имеет свои исключения. Так я стал свидетелем того, что даже маленькие дети понимают красоту математических теорем.

Исключения из общего правила – это всегда некрасиво. Они не могут не раздражать. Чем закономерность более простая и применимая, тем большее впечатление она производит. Красота математики может выражаться по-разному, но в целом может быть сведена к простоте в формулировках в отношении сложных явлений. Красивая теория – это теория, простая в описании, не имеющая отклонений, исключений, спорных моментов и лишенная избыточных деталей. Это теория, имеющая обширное применение, которая при этом может быть изложена кратко, что и делает ее безупречной.

Пример с многоугольниками весьма примитивен, но, развиваясь, новые теории становятся еще красивее, сохраняя при этом закономерности, которые могут быть сведены к нескольким простым принципам. Удивительно и то, что новые теории еще более стройны и закономерны, чем появившиеся в эпоху Античности, что противоречит логичному предположению обратного. Мнимые числа – яркий тому пример.

Помните уравнения второй степени? Решая их способом аль-Хорезми, можно было отыскать два решения, одно решение либо прийти выводу, что уравнение не имеет решений. Все это будет верным, если не брать в расчет мнимые числа. В противном случае любое уравнение второй степени будет иметь два решения! Когда аль-Хорезми утверждал, что уравнение не имеет решений, это было верно, так как в его системе, ограниченной только действительными числами, ответа не имелось. Два решения такого уравнения находятся во множестве мнимых чисел.