Микаэль Лонэ - Большой роман о математике. История мира через призму математики

Дальше больше. Благодаря открытию мнимых чисел любое уравнение третьей степени имеет три решения, четвертой степени – четыре решения и т. д. Таким образом, количество решений уравнения равно степени этого уравнения. Это открытие сделал немецкий математик Карл Фридрих Гаусс в XVIII в. и привел соответствующее доказательство в начале XIX в. Эту теорему назвали основной теоремой алгебры.

Более чем 1000 лет после того, как аль-Хорезми написал свою работу, после всех неудач в решении уравнений третьей степени, после того, как решение уравнений четвертой степени было немыслимо, т. к. не могло быть представлено в геометрической форме, в конечном счете было сформулировано элементарное правило, состоящее из шести слов: количество решений уравнения равно его степени.

Это одно из следствий открытия мнимых чисел. Не только решение уравнений усовершенствовалось после их появления. После того как начинают использоваться мнимые числа, ряд теорем в одночасье становится более красивыми и лаконичными. Это в целом открыло новые возможности для развития математики. Бомбелли, вероятно, не сомневался, что, открыв комплексные числа, он, тем самым, предоставил математикам будущих поколений огромное поле для исследований.

Математики исследуют свойства новых алгебраических структур, которые появились в XIX в. Общие правила, правила симметрии, аналогии, результаты, которые развиваются и совершенствуются. Небольшая теория, которую мы сформулировали чуть ранее, вряд ли будет соответствовать этим критериям, чтобы стать интересной. В этой теории нет строгих закономерностей, и каждый случай индивидуален. Нет ни общих правил равенства, ни принципов производимых действий. Ну что ж, ничего не поделаешь.

Среди наиболее известных имен современной алгебры можно выделить французского ученого Эвариста Галуа, гения, который погиб в 1832 г. во время дуэли в возрасте всего 21 года. За такую короткую жизнь он смог внести свой вклад в историю развития уравнений. Галуа удалось доказать, что, начиная с уравнений пятой степени, их решение не может быть рассчитано по формулам, аналогичным тем, что вывели аль-Хорезми или Кардано – с использованием только четырех операций, возведения в степень и вычисления корня. Для того чтобы доказать это, он специально создал новые алгебраические структуры, которые до сих пор изучаются и известны как группы Галуа.

Но вот кто, пожалуй, достиг наивысшего успеха в получении алгебраических результатов, пользуясь небольшим числом простейших аксиом, – так это немецкий математик Эмми Нётер. С 1907 г. до своей смерти в 1935-м Нётер опубликовала около пятидесяти статей по алгебре, и некоторые стали настоящим прорывом из-за используемых автором алгебраических структур и теорем. Она главным образом занималась изучением колец, полей и алгебр, [15]т. е. структур, связанных, соответственно, тремя, четырьмя или пятью действиями с соответствующими свойствами.

И вот алгебра достигла такой степени абстракции, которую эта скромная книга уже не в силах охватить. Более подробно об этом можно прочитать в учебных пособиях для студентов университетов или научных трудах.

XVI в. в Европе был богат событиями. Ренессанс начался в Италии, а затем распространился по всему континенту. Сделаны многочисленные открытия. На западе, за Атлантическим океаном, испанские корабли открыли новый мир. И в то время как исследователи отправлялись на поиски далеких неизведанных земель, интеллектуалы-гуманитарии в библиотеках заново постигали великие тексты эпохи Античности. В религии также начали происходить изменения. Протестантская реформация во главе с Мартином Лютером и Жаном Кальвином набирала все большую популярность, и во второй половине века в Европе бушевали религиозные войны.

Быстрое распространение новых идей в значительной степени обязано изобретению печати подвижными литерами, разработанной в 1450 г. немецким ученым Иоганном Гутенбергом. Благодаря этому методу стало можно очень быстро перепечатывать книги, что обеспечивало их широкое распространение. В 1482 г. «Начала» Евклида стали первым математическим трудом, который напечатали в Венеции. Успех был огромный! В начале XVI в. в сотнях городов были свои печатные станки и напечатали уже десятки тысяч книг.

Наука играла активную роль в происходивших изменениях. В 1543 г. польский астроном Николай Коперник опубликовал свою работу «О вращении небесных сфер» ( De Revolutionibus Orbium Coelestium ). Эффект от нее был как гром среди ясного неба! Перечеркивая учение Птолемея, Коперник утверждал, что это Земля вращается вокруг Солнца, а не наоборот! В последующие годы Джордано Бруно, Иоганн Кеплер и Галилео Галилей подтвердили данное открытие и провозгласили гелиоцентрическую систему мира. Это революционное открытие вызвало гнев деятелей католической церкви. После длительного застоя наука начала стремительно развиваться, и многие догмы были опровергнуты. Если Копернику хватило благоразумия не публиковать свою работу вплоть до момента незадолго до своей смерти, то Бруно не был так сдержан, и вследствие этого его сожгли на костре на площади в Риме, а Галилео Галилея заставили отречься от своего учения перед судом инквизиции. Легенда гласит, что, выйдя из зала судебных заседаний, итальянский ученый пробормотал знаменитую фразу: «И все-таки она вертится!»

Математика продолжает постепенно распространяться по крупным государствам на западе. Так, она проникает и во Францию.

Разумеется, математикой здесь занимались и раньше. У галлов была своя система исчисления на основе двадцаток, в результате чего в современном французском языке 80 переводится дословно как «четыре по двадцать». Древние римляне, несмотря на отсутствие великих математиков, неплохо умели считать в целях обеспечения хозяйственной деятельности своей огромной империи. Эти знания унаследовали Франки, Меровинги, Каролинги и Капетинги в эпоху Средневековья. Тем не менее во Франции никогда не было великих математиков, а также не сделано значительных математических открытий или приведено доказательств каких-либо теорем, которые бы не были доказаны ранее.

Поскольку математика добралась до Франции, самое время пойти по ее следам здесь. Направимся в департамент Вандея, в западную часть страны, где жил первый великий французский математик Возрождения Франсуа Виет.

Деревня Фуссе-Пейре в двенадцати километрах от Фонтене-ле-Конт навсегда останется в истории. Первые следы поселений в этом месте относятся к галло-римским временам, но период его процветания наступит только в эпоху Ренессанса. Многочисленные ремесленники и торговцы приезжали сюда, и их дела шли прекрасно. О местных торговцах шерстью, льном и кожей знали во всем королевстве. Даже сегодня многие здания этого периода замечательно сохранились. В деревне с населением всего в тысячу человек осталось не менее четырех исторических зданий и множество других строений.