РАЛЬФ РАЛЬФ ВИНС - Математика управления капиталом. Методы анализа риска для трейдеров и портфельных менеджеров

Обычные ошибки в отношении зависимости

Будучи трейдерами, мы должны исходить из того, что в большинстве рыночных систем зависимости не существует. То есть, при торговле в данной рыночной си­стеме, мы находимся в среде, где результат следующей сделки не предсказуем на основе результата (результатов) предыдущих сделок. Это не значит, что в рыноч­ных системах никогда не бывает зависимости между сделками. Речь идет о том, что нам следует действовать так, как будто зависимости не существует, пока не будет убедительных доказательств обратного. Это произойдет в случае, если счет Z и коэффициент линейной корреляции указывают на зависимость на рынке даже с оптимизированными параметрами системы. Если мы посчитаем, что за­висимость есть, когда нет убедительных доказательств, то обманем сами себя и не получим хороших торговых результатов. Даже если система показала зави­симость при доверительной границе 95% для всех значений параметра, это не достаточно высокая доверительная граница, чтобы с уверенностью говорить, что на определенном рынке или в определенной системе зависимость между сделка­ми существует.

Первая ошибка заключается в том, что мы можем отвергнуть гипотезу, кото­рую следует принять. Если, однако, мы принимаем гипотезу, когда ее следует от­вергнуть, то совершаем другую ошибку. Не зная заранее, верна или нет гипотеза, мы должны решить, какую цену мы готовы заплатить за первую ошибку, а какую за вторую. Иногда одна ошибка серьезнее, чем другая, и в таких случаях мы долж­ны решить, принимать или отвергать неподтвержденную гипотезу, выбирая меньшее из двух зол.

Допустим, вы хотите использовать определенную торговую систему, но не уве­рены, будет ли она работать при торговле в режиме реального времени. Здесь ги­потеза состоит в том, что торговая система будет хорошо работать в режиме ре­ального времени. Вы решаете принять гипотезу и торговать с помощью этой сис­темы. Если гипотеза не подтвердится, то вы совершите вторую ошибку и заплатите за нее проигрышами. С другой стороны, если вы решите не торговать по системе, которая на самом деле окажется прибыльной, то совершите первую из рассмотренных нами ошибок. В этом случае цена, которую вы заплатите, — это упущенные прибыли. Что лучше? Ясно, что упущенная прибыль. Хотя из этого примера можно сделать вывод, что если вы собираетесь торговать по системе в ре­жиме реального времени, то ей, конечно, надо быть прибыльной на прошлых данных, но есть и другой мотив для использования этого примера. Если мы допу­стим, что зависимость есть, когда фактически ее нет, то совершим вторую ошибку. Цена, которую мы заплатим, — реальный убыток. Однако если мы допустим, что зависимости нет, а она на самом деле есть, то совершим первую ошибку и упустим прибыль. Согласитесь, что лучше упустить прибыль, чем понести реальные убыт­ки. Поэтому, пока не будет убедительного доказательства зависимости, вам лучше исходить из того, что прибыли и убытки в торговле (неважно, по механической системе или нет) не зависят от предыдущих результатов. Здесь, как может пока­заться, существует некий парадокс. Во-первых, если существует зависимость в сделках, то система подоптимальна. Однако о зависимости никогда нельзя го­ворить с полной уверенностью. Если мы будем действовать, как будто зависи­мость есть (когда фактически ее нет), мы совершим более дорогостоящую ошиб­ку, чем если бы действовали, как будто зависимости нет (когда фактически она есть). Допустим, что в системе с историей из 60 сделок на основе серийного теста обнаружена зависимость с доверительным уровнем 95%. Мы хотим, чтобы наша система была оптимальной, поэтому соответствующим образом изменяем ее пра­вила, чтобы использовать замеченную зависимость. Предположим, после этого у нас остается 40 сделок, и зависимости больше нет, в результате, мы приходим к выводу, что правила системы оптимальны. Теперь при 40 сделках мы получаем бо­лее высокое оптимальное f, чем при 60 (более подробно об оптимальном f — далее в этой главе). Если вы будете торговать по этой системе с новыми правилами, ис­пользующими зависимость, применяя более высокое сопутствующее оптималь­ное f, а зависимости на самом деле нет, то результат будет ближе к 60 сделкам, чем к 40 сделкам, в которых были показаны лучшие результаты. Таким образом, f, которое вы выбрали, будет сдвинуто вправо, что выразится в потерях, которые вы понесете из-за того, что предположили зависимость. Если зависимость присут­ствует, тогда вы будете ближе к пику кривой f, допускающей, что зависимость су­ществует. Если бы вы решили, что зависимости нет, когда фактически она есть, то вы были бы слева от пика кривой f, и ваша система была бы подоптимальной (но вы потеряете меньше, чем если бы были справа от пика).

Короче говоря, ищите зависимость. Если она обнаружится с достаточно высо­кой вероятностью, тогда измените правила системы, чтобы использовать эту за­висимость. В противном случае, при отсутствии убедительного статистического доказательства зависимости, считайте, что ее не существует (и вы понесете мень­шие потери, если фактически зависимость все же существует).

Математическое ожидание

Таким же образом, вам лучше не торговать, пока не будет убедительных доказа­тельств того, что рыночная система, по которой вы собираетесь торговать, при­быльна, то есть пока вы не будете уверены, что рыночная система имеет положи­тельное математическое ожидание. Математическое ожидание является суммой, которую вы можете заработать или проиграть, в среднем, по каждой ставке. На языке азартных игроков это иногда называется «преимуществом игрока» (если оно положительно для игрока) или «преимуществом казино» (если оно отрицательно для игрока):

где Р = вероятность выигрыша или проигрыша;

А = выигранная или проигранная сумма;

N = количество возможных результатов.

Математическое ожидание — это сумма произведений каждого возможного выиг­рыша или проигрыша и вероятности такого выигрыша или проигрыша.

Давайте рассмотрим математическое ожидание игры, где у вас есть 50% шан­сов выиграть 2 доллара и 50% шансов проиграть 1 доллар:

Математическое ожидание = (0,5 * 2) + (0,5 * (-1)) =1+(-0.5) =0,5

В таком случае ваше математическое ожидание — выигрыш 50 центов, в среднем, забросок.

Рассмотрим ставку на один номер в рулетке. В этом случае ваше математичес­кое ожидание составит:

МО =((1/38)* 35)+((37/38) *(-1)) = (0,02631578947 * 35) + (0,9736842105 * (-1)) = (0,9210526315) + (-0,9736842105) = -0,05263157903

Если вы поставите 1 доллар на номер в рулетке (американский двойной ноль), то можете ожидать проигрыш, в среднем, 5,26 центов на один круг. Если вы поставите 5 долларов, то можете ожидать проигрыш, в среднем, 26,3