Кит Йейтс - Математика жизни и смерти. 7 математических принципов, формирующих нашу жизнь

Римляне были во многом более развитой цивилизацией, чем египтяне. Известно, что они широко использовали такие изобретения, как книги, бетон, дороги, домашняя канализация и система общественного здравоохранения. Однако их система счисления была более примитивной. Они использовали семь символов: I, V, X, L, C, D и M – для обозначения чисел 1, 5, 10, 50, 100, 500 и 1000 соответственно. Понимая, что их система цифр несколько громоздкая, римляне всегда записывали числа слева направо, от самых больших до самых маленьких, поэтому символы можно было просто сложить вместе. Так, MMXV читалось бы: 1000 + 1000 + 10 + 5 или 2015.

Но длинные числовые записи очень неудобны, поэтому ввели исключение из правила. Записанное слева от большего числа меньшее надо было вычесть из большего. Так, число 2019 записывается MMXIX, а не MMXVIIII – из последнего X вычитается I, что дает 9; при этом ключевые символы сохраняются. Но и это еще не все. Проблема в том, что современное представление о стандартизированных правилах и символах римской системы счисления не вполне соответствует тому, как эти символы и правила выглядели и использовались в римскую эпоху. Этруски, например, могли использовать такие символы, как I, Л, Χ, ↑ и Ж вместо I, V, X, L и C, хотя даже это спорно. Нормативные символы и правила написания римских цифр, описанные выше, возможно, формировались на протяжении многих столетий в постримской Европе. Исконно римские системы, вероятно, были гораздо менее единообразными.

Как бы то ни было, римские цифры – в отличие от египетских иероглифов – вполне благополучно пережили падение Римской империи. Сегодня римские цифры, указывающие год завершения строительства, украшают многие здания – это позволяло архитекторам придавать античный флер даже новоделу. По этой причине конец XIX века был особенно трудным временем для каменщиков. На фасаде Бостонской публичной библиотеки имеется надпись из 13 знаков – MDCCCLXXXVIII – самое длинное римское число за последнее тысячелетие; оно обозначает 1888 год, в котором было закончено строительство. Не только архитекторы полагают, что запись числа римскими цифрами выглядит более солидно. Руководства по стилю подсказывают, что человек, на циферблате часов которого изображены римские цифры, выглядит более искушенным, достойным, чем рядовой обыватель. И вправду, официальная запись имени британской королевы, правившей дольше всех остальных британских монархов, – «Елизавета II» – смотрится куда благородней, чем «Елизавета 2», гораздо больше похожая на название сиквела какого-то фильма. В фильмах и телешоу римские цифры, кстати, тоже используются для обозначения даты их производства, но по другой причине. Еще на заре кинематографа создатели фильмов начали обозначать год создания ленты римскими цифрами, чтобы зритель не сразу догадывался, что он смотрит переработанное старое шоу, а требования к оформлению указания на авторство при этом соблюдались.

Несмотря на свою «нишевую» долговечность, римские цифры не сумели покорить мир, поскольку мудреные правила их записи и чтения активно препятствовали развитию высшей математики. Римская империя и вправду не дала миру ни великих математиков, ни великих математических идей. Как мы видели, каждое число в римской системе счисления – потенциально сложное уравнение, которое требует складывать или вычитать ряд символов, чтобы получить результат. Это затрудняет даже простое сложение двух римских числительных. Невозможно было, например, записать два числа одно над другим и сложить их в столбик, как нас всех сегодня учат в начальной школе на уроках математики. Два одинаковых символа в одной позиции в двух разных римских числах не обязательно означали одно и то же. Для подсчета разницы между 2019 и 2015 годом (4 года) просто вычесть число MMXV из числа MMXIX по цифрам справа налево (X–V даст 5, I–X даст – 9 и т. д.) не выйдет. Римской математике категорически не хватало концепции позиционной – или пространственной – системы счисления.

Задолго до римлян и египтян народ Шумера, располагавшегося на территории современного Ирака, имел гораздо более совершенную систему счисления. Шумеры, которых часто называют родоначальниками цивилизации, разработали широкий спектр технологий и орудий труда для сельского хозяйства, включая ирригацию, плуг и, возможно, даже колесо. С ростом их сельскохозяйственного общества возникла необходимость точно измерять земельные участки и администрировать налогообложение. Поэтому около пяти тысяч лет назад шумеры изобрели первую позиционную систему счисления – систему, фундаментальные концепции которой со временем распространились по всему земному шару. Цифры записывались в установленном порядке. Символ, расположенный левее, представлял бóльшую величину, чем тот же символ, расположенный правее. В нашей современной системе счисления в числе 2019 девятка обозначает девять единиц, единица – один десяток, ноль – отсутствие сотен, а двойка – две тысячи. С каждым шагом влево одна и та же цифра превращается в число в 10 раз больше. Хотя шумеры выбрали за основу число 60, они использовали точно такой же принцип. Крайний правый столбец представлял единицы, следующий столбец слева – «шестидесятки», следующий – «3600-ки» и так далее. В шестидесятеричной системе шумеров число 2019 составляют девять единиц, одна 60, ноль 3600 и две 216 000, что в десятичной системе составит 432 069. И наоборот, если бы шумеры хотели записать число 2019 в шестидесятеричной системе, их запись выглядела бы примерно так: 33 39, где символ 33 означает 33 шестидесятки (1980), а символ 39 – оставшиеся 39 единиц.

Создание позиционной системы счисления является, пожалуй, самым важным научным открытием всех времен. Неслучайно, что научной революции XV века в Европе непосредственно предшествовало широкое распространение на континенте десятеричной индо-арабской позиционной системы счисления (которую мы используем и сегодня). Позиционная система счисления позволяет зафиксировать любое число – вне зависимости от его размера – всего несколькими простыми символами. В египетской и римской системах положение символа не имело глобального значения. Вместо этого значение числа определялось самим символом, а это означало, что обе культуры были логически ограничены в развитии конечным количеством фигур, которые они могли представлять. Однако шумеры могли изобразить любое число на выбор с помощью своего набора из 60 символов. Их развитая позиционная система позволяла им выполнять такие сложные математические действия, как решение квадратных уравнений (которые естественным образом возникают в сельском хозяйстве при распределении земли) и тригонометрических задач.

Возможно, основная причина, по которой шумеры использовали шестидесятеричную систему, заключалась в том, что она значительно облегчала деление и операции с дробями. Число шестьдесят имеет множество делителей: на 1, 2, 3, 4, 5, 6, 10, 12, 15, 20, 30 и 60 оно делится ровно, без остатка. Попытка разделить фунт (состоящий из 100 пенсов) или доллар или евро (состоящие из 100 центов) на шестерых вызовет разногласия по поводу того, кто получит оставшиеся четыре пенни. Шумерскую мину, состоящую из 60 сиклей, однако, можно было поровну поделить между 2, 3, 4, 5, 6, 10, 12, 15, 20 или даже 30 людьми ко всеобщему удовлетворению. Шумерское 60-ричное основание также позволяет легко и точно поделить торт, например, на 12 равных кусков. Одна двенадцатая в шестидесятеричной системе составляет всего лишь пять шестидесятых. В шумерской «десятичной» записи – это число выглядело бы красиво и аккуратно – 0,5 (первое число после разделителя показывает количество шестидесятых долей, а не десятых), в отличие от уродливых 0,083333… (8 сотых, 3 тысячных, 3 десятитысячных и т. д.) в нашей десятеричной системе. По этой причине шумерские астрономы разделили купол ночного неба – словно круглый торт – на 360 (то есть 6 × 60) градусов, что серьезно облегчило астрономические прогнозы.