О. ОРЕ - Приглашение в теорию чисел

Здесь первый и последний коэффициенты равны единице. Средними биномиальными коэффициентами являются

C p 1= p /1, С р 2= p ( p -1)/(1 2), С р 3= p ( p -1)( p -2)/(1 • 2 • 3)… (7.5.3)

и вообще

С р r = p ( p -1)( p -2)… ( p — r + 1)/(1 2… r ), (7.5.4)

Так как эти коэффициенты получаются в результате последовательного умножения на бином ( х + у ), то ясно, что они являются целыми числами.

С этого момента будем считать, что р — простое число. Чтобы записать эти коэффициенты в целочисленном виде, необходимо сократить все общие множители знаменателя

1 • 2 • 3 •… • r

и числителя

p ( p -1)( p -2)… ( p — r + 1)

Однако знаменатель не содержит простого множителя р , поэтому после сокращения число р останется множителем в числителе. Мы делаем вывод.

Все биномиальные коэффициенты (кроме первого и последнего) в выражении (7.5.2) делятся на р, если р — простое число.

Пусть теперь х и у в выражении (7.5.2) будут целыми числами. Если мы рассмотрим формулу (7.5.2) как сравнение по модулю р , то можно сделать вывод, что для любых целых чисел х и у и простого р

( х + у ) p ≡ х р + у р (mod p ). (7.5.5)

В качестве примера возьмем р = 5:

( х + у ) 5= х 5+ 5 х 4 у + 10 x 3 y 2+ 10 x 2 y 3+ 5 xy 4+ у 5.

Так как все средние коэффициенты делятся на 5, то

( х + у ) 5≡ х 5+ у 5(mod 5)

в соответствии с (7.5.5).

Из сравнения (7.5.5) можно сделать важные выводы. Применим его для случая х = у = 1. Получаем

2 p = (1 + 1) p ≡ 1 p + 1 p = 2 (mod p ).

Возьмем затем х = 2, у = 1 и найдем, что

3 p = (2 + 1) p ≡ 2 p + 1 p ;

теперь, используя предыдущий результат, 2 p ≡ 2 (mod p ), получаем

2 p + 1 p ≡ 2 + 1 ≡ (mod p ).

Итак, 3 p ≡ 3 (mod p ). Далее для х = 3, у = 1 получаем

4 p ≡ 4 (mod p ).

Используя этот процесс, можно доказать по индукции, что а p ≡ a (mod p ) для всех значений числа

а = 0, 1…. р -1. (7.5.6)

Случаи a = 0 и а = 1 очевидны. Так как каждое число сравнимо (mod р ) с одним из остатков, записанных в (7.5.6), мы делаем вывод:

для любого целого числа а и любого простого числа р

a p ≡ a (mod p ). (7.5.7)

Это утверждение обычно называют теоремой Ферма , хотя некоторые авторы называют ее малой теоремой Ферма , чтобы отличить от последней теоремы Ферма, или гипотезы Ферма, о которой мы упоминали в § 3 главы 5.

Пример. Для р = 13 и а = 2 мы находим: 13 = 8+ 4 + 1, т. е. 2 13= 2 8+4+1= 2 8 2 4 • 2 1. Так как 2 4= 16 ≡ 3 (mod 13), 2 8≡ 9(mod 13), то

2 13= 2 8• 2 4• 2 ≡ 9 • 3 • 2 ≡ 2 (mod 13),

как и утверждает теорема Ферма.

В соответствии с правилом сокращения для сравнений, сформулированном в конце § 3, мы можем сократить общий множитель а в обеих частях записи теоремы Ферма (7.5.7) при условии, что число а взаимно просто с числом р , являющимся модулем сравнения. Это дает следующий результат:

если а является целым числом, не делящимся на простое число р, то

a p -1 ≡ 1 (mod p ). (7.5.8)

Этот результат также называют теоремой Ферма.

Пример. Когда а = 7, р = 19, мы находим, что

7 2= 49 ≡ 11 (mod 19)

7 4≡ 121 ≡ 7 (mod 19),

7 8≡ 49 ≡ 11 (mod 19),

7 16≡ 121 ≡ 7 (mod 19),

и это дает

a p -1= 7 18= 7 16 • 7 2≡ 7 • 11 ≡ 1 (mod 19),

что соответствует утверждению (7.5.8).

В качестве приложения теоремы Ферма вновь рассмотрим треугольники Пифагора, обсужденные в гл. 5 и докажем следующее утверждение:

произведение длин сторон треугольника Пифагора делится на 60.

Доказательство. Очевидно, достаточно доказать это для простейших треугольников. В соответствии с формулой (5.2.7), это произведение есть

Р = 2 mn ( m 2— n 2) ( m 2+ n 2) = 2 mn ( m 4— n 4).

Число Р делится на 60 тогда и только тогда, когда оно делится на 4, на 3 и на 5. Так как одно из чисел m и n четно, то 2 mn , а следовательно, и число Р , делится на 4. Оно делится на 3, если хотя бы одно из чисел m или n делится на 3, но если ни одно из них не делится на 3, то Р все же будет делиться на 3, так как из условий (7.5.8), а также D ( m , 3) = 1 и D ( n , 3) = 1 следует, что m 2 ≡ 1 (mod 3) и n 2 ≡ 1 (mod 3), так что

m 2— n 2≡ 1 – 1 = 0 (mod 3).

Аналогично, число Р делится на 5. Это очевидно, если m или n делится на 5. Если ни одно из них не делится на 5, то вновь по теореме Ферма (7.5.8) получаем

m 4— n 4≡ 1 – 1 = 0 (mod 5).

Как мы уже упоминали, создателем теории сравнений был немецкий математик Карл Фридрих Гаусс. Его знаменитая работа по теории чисел «Арифметические исследования» появилась в 1801 году, когда ему было 24 года. В первых главах этой книги рассказывается о теории сравнений. Однако здесь следует упомянуть, что следы теории сравнений можно обнаружить за несколько столетий до Гаусса. Некоторые из них присутствуют в древних правилах проверки арифметических вычислений. Они составляют существенную часть инструкции по арифметическим операциям эпохи Ренессанса. Некоторые из них используются до сих пор, а из всего того, что нам известно об их происхождении, можно сказать, что их корни лежат в античности.

Мы не знаем, каким образом эти правила были впервые введены, однако попытаемся указать один из возможных путей, на котором они могли быть открыты. Вернемся к временам счетных досок. На таком абаке каждая цифра в числах, которые участвовали в вычислениях, обычно выкладывалась с помощью фишек, камней, палочек или орехов, причем каждая группа отмечала количество единиц, десятков, сотен и т. д. в соответствии с местом их нахождения. В нашей десятичной системе число

N = a n 10 n+ a n -110 n -1+… + a 210 2+ a 110 + a 0= ( a n, a n -1…, a 2, a 1, a 0) 10 (8.1.1)

потребовало бы для своей записи

S N = a n + a n -1+… + а 2+ а 1+ а 0(8.1.2)

фишек. Это число мы называем суммой цифр числа N .

Теперь предположим, что мы хотим выполнить на доске простое действие, а именно: сложить два числа N и M . Тогда мы должны отметить на доске также второе число

M = ( b m, b m -1, …, b 2, b 1, b 0) 10,

у которого на тех же линиях лежит

S M = b m + b m -1+ … + b 2+ b 1+ b 0

складываемых фишек. На некоторых линиях может теперь лежать больше, чем по 9 фишек. Операция, необходимая для нахождения числа N + М , состоит в замене десяти фишек на одной линии одной фишкой на следующей линии. И так нужно продолжать до тех пор, пока такой процесс возможен. На каждом шаге заменяют десять фишек одной-единственной и таким образом происходит потеря девяти фишек на доске. Итак, мы видим, что если сложение выполнено правильно, то число фишек, остающихся на доске, должно удовлетворять условию