О. ОРЕ - Приглашение в теорию чисел

Наименьшим составным числом, удовлетворяющим сравнению (8.4.3), является

N = 341 = 11 • 31.

В пределах 1000 существуют еще два таких числа,

а именно:

N = 561= 3 • 11 • 17,

N = 645 = 3 • 5 • 43.

Число 561 является замечательным, так как соответствующее сравнение (8.4.1) выполняется для каждого целого числа а , взаимно простого с числом N . Мы называем такие особые числа числами, имеющими свойство Ферма . По таким числам в последнее время было проведено огромное количество исследований.

Система задач 1.3.

Ответы для обеих задач можно найти в табл. 3 на стр. 61.

Система задач 1.4.

1. Предположим, что верно соотношение

T n -1= 1/2 ( n -1) n .

Можно проверить его для n = 2, 3, 4. Из рис. 4 видно, что Т n получается из T n -1прибавлением числа n , поэтому

Т n = Т n -1+ n = 1/2 n ( n + 1).

2. Из рис. 5 видно, что для того, чтобы получить Р n , нужно прибавить к Р n -1число

1 +3 ( n — 1) = З n — 2.

Если мы уже знаем, что

P n -1= 1/2 (3 ( n — 1) 2— (n — 1))

(это справедливо для п = 2, 3, 4, в соответствии с последовательностью (1.4.3)), то отсюда следует, что

Р n = P n -1+ 3 n — 2 = 1/2 (З n 2— n ).

3. Мы можем получить n -е k -угольное число из ( n — 1) — го, прибавив к нему

( k — 2) ( n — 1) + 1

и выводя формулу таким же способом, как и в задаче 2. Задачи 2 и 3 могут быть решены иначе: делением точек на треугольники, как указано на рис. 5, и использованием формулы для Т n . Проведите это доказательство во всех деталях.

Система задач 1.5.

1. Например, квадрат

16 3 2 13

9 6 7 12

5 10 11 8

4 15 14 1

полученный перестановкой второй и третьей строк квадрата Дюрера, также является магическим. Менее тривиальным является квадрат

16 4 1 13

9 5 8 12

6 10 11 7

3 15 14 2

2. Так как числа в квадрате 4 × 4 не превышают 16, возможны лишь два года, 1515 и 1516. Первый, очевидно, исключается, во втором случае построить квадрат оказывается невозможным.

Система задач 2.1.

2. 1979.

3. Числа от 114 до 126 все составные.

Система задач 2.3.

1. n = 3, 5, 15, 17,51,85

2. Имеем

360°/51 = 6 360°/17 — 360°/3.

3. Количество различных произведений чисел Ферма (от одного до пяти чисел в одном произведении) равно

5 + 10 + 10 + 5 + 1 = 31.

Таково количество чисел, для которых могут быть построены многоугольники. Наибольшим значением является

n = 3 • 5 • 17 • 257 • 65537 = 4 294 967 295.

Система задач 2.4.

1. В каждой из первых десяти сотен имеется соответственно 24, 20, 16, 16, 17, 14, 16, 14, 15, 14 простых чисел.

2. Существует 11 таких простых чисел.

Система задач 3.1.

1.120 = 2 3 • 3 • 5; 365 = 5 • 73; 1970 = 2 • 5 • 197.

3. 360 = 2 • 2 • 90 = 2 • 6 • 30 = 2 • 10 • 18 = 6 • 6 • 10.

Система задач 3.2.

1. Простое число имеет два делителя; р α — степень простого числа, имеет а + 1 делитель.

2. τ (60) = 12, τ (366) = 8, τ (1970) = 8.

3. Наибольшим количеством делителей у числа, не превосходящего 100, является 12. Такое количество делителей имеют числа 72, 84, 90, 96.

Система задач 3 3.

1. 24; 48; 60; 10080.

2. 192; 180; 45360.

3. 24 и 36.

4. Пусть число делителей равно rs , где r и s — простые числа. Тогда

n = p rs -1или n = p r -1 q s -1,

где р и q — простые числа.

Система задач 3.4.

1.8 128 и 33550 336.

Система задач 4.1.

1. а) D (360, 1970) = 10; б) D (30, 365) = 5.

2. Предположим, что √2 — рациональное число, т. е. √2 = a / b . Можем считать, что все сокращения произведены и числа а и b не имеют общих множителей. Возводя в квадрат это соотношение, получаем 2 b 2= a .

По теореме о единственности разложения число а делится на 2, следовательно, а 2делится на 4. И вновь по теореме о единственности разложения, примененней к числу b 2, получаем, что b делится на 2, что противоречит предположению о том, что числа а и b не имеют общих множителей. Полученное противоречие показывает, что √2 — число иррациональное.

Система задач 4.2.

1. Нечетные числа.

2. Если простое число р является делителем чисел n и n + 1, то оно будет делителем числа ( n + 1) — n = 1.

3. Никакие из них не являются взаимно простыми.

4. Да.

Система задач 4.3.

2. D (220, 284) = 4, D (1184, 1210)=2, D (2620, 2924)= 4, D (5020, 5564) = 4.

3. Чтобы определить наибольшую степень числа 10, на которую делится число n = 12•3… n , мы должны сначала найти наибольшую степень числа 5, на которую оно делится. Каждое пятое число 5, 10, 15, 20, 25, 30 делится на 5, всего таких чисел, не превосходящих числа n , [ n /5]. Однако некоторые из них делятся на вторую степень числа 5, а именно, 25, 50, 75, 100…; таких чисел существует [ n /25]. Некоторые из них делятся на третью степень числа 5, т. е. на 125: 125, 250, 375; их существует [ n /5 3] и т. д. Это показывает, что выражение для точной степени числа 5, делящей число n ! таково:

[ n /5] + [ n /5 2] + [ n /5 3] +… (*)

В этой сумме достаточно выписать лишь те члены, в которых у выражения в квадратных скобках числитель не меньше знаменателя.

Точно такие же рассуждения можно провести для нахождения соответствующей степени любого другого простого числа р . В частности, когда р = 2, получается выражение

[ n /2] + [ n /2 2] + [ n /2 3] +…

Ясно, что это выражение не меньше, чем выражение (*), т. е. в числе n ! каждому множителю 5 можно подобрать множитель 2. Таким образом, выражение (*) также дает и величину степени числа 10, делящей n ! которая равна числу нулей, стоящих в конечной части записи числа.

Примеры. n = 10, [10/5] = 2, [10/5 2] = 0, поэтому 10! оканчивается двумя нулями;

n = 31, [31/5] = 6, [31/5 2] = 1, [31/5 3] = 0, поэтому 31! оканчивается 7 нулями.

Система задач 4.4.

1. К (360, 1970) = 70 920, К (30, 365) = 2190.

2. К (220, 284)= 15620, K (1184, 1210) = 716 320, К (2620, 2924) =1 915 220, К (5020, 5564) = 6 982 820.

Система задач 5.2.

1. m = 8, n = 1: (16, 63, 65), n = 3: (24, 55, 73), n = 5: (80, 39, 89), n = 7: (112, 15, 113),

m = 9, n = 2: (36, 77, 85), n = 4: (64, 65, 97), n = 8: (144, 17, 145),

m =10, n = 1: (20, 99, 101), n = 3: (60, 91, 109), n = 7: (140, 51, 149), n = 9: (180, 19, 181).

2. Нет. Если

2 mn = 2 m 1 n 1, m 2— n 2= m 1 2— n 1 2, m 2+ n 2= m 1 2+ n 1 2,