О. ОРЕ - Приглашение в теорию чисел

2. Попытайтесь определить количество простых чисел в диапазоне 10001—10100.

Любое составное число с может быть записано в виде произведения с = ab, причем ни один из делителей не равен 1 и каждый из них меньше, чем с ; например,

72 = 8 • 9, 150 = 10 • 15.

При разложении числа с на множители один из них, и даже оба ( а и b ) могут оказаться составными. Если а — составное, то разложение на множители можно продолжить:

а = a 1• a 2, с = a 1 • a 2 • b .

Примерами этого могут служить рассмотренные выше числа

72 = 2 • 4 • 9, 150 = 2 • 5 • 15.

Этот процесс разложения на множители можно продолжить до тех пор, пока он не закончится; это должно произойти, так как делители становятся все меньше и меньше, но не могут стать единицей. Когда ни один из делителей нельзя уже будет разложить на множители, то все делители будут простыми числами.

Таким образом мы показали, что

Каждое целое число, большее 1, является простым числом или произведением простых чисел.

Последовательное разложение числа на множители может быть выполнено многими способами. При этом можно использовать таблицу делителей. Сначала найдем наименьшее простое число р 1 , делящее число с , так что с = р 1 с 1. Если с 1— составное число, то по таблице делителей найдем наименьшее простое число р 2, делящее с 1, так что

c 1 = р 2• с 2, c = p 1 • p 2• с 2.

Затем найдем наименьший простой делитель числа с 2и т. д.

Но главное здесь то, что независимо от способа разложения числа на простые множители результат всегда будет одним и тем же, различаясь лишь порядком их записи, т. е. любые два разложения числа на простые множители содержат одни и те же простые числа; при этом каждое простое число содержится одинаковое число раз в обоих разложениях.

Этот результат мы можем кратко выразить следующим образом:

разложение числа на простые множители единственно.

Возможно, что вы так часто слышали об этой так называемой «основной теореме арифметики» и пользовались ею, что она представляется вам очевидной, но это совсем не так. Эта теорема может быть доказана несколькими различными способами, однако ни один из них не тривиален. Здесь мы приведём доказательство, используя способ «от противного», который часто называют его латинским названием reductio ad absurdum (приведением к абсурду). Этот способ заключается в следующем: предположив ложность теоремы, которую нужно доказать, показывают, что это предположение приводит к противоречию.

Доказательство . Предположим, что наша теорема о единственности разложения на множители неверна. Тогда должны существовать числа, имеющие по крайней мере два различных разложения на простые множители. Выберем из них наименьшее и обозначим его через с 0. Для небольших чисел, скажем, меньших 10, истинность теоремы можно установить прямой проверкой. Число с 0имеет наименьший простой множитель р 0, и мы можем записать:

c 0= p 0 d 0.

Так как d 0< c 0, то число d 0единственным образом раскладывается на простые множители. Отсюда следует, что разложение числа c 0на простые множители, содержащее число р 0, единственно.

А так как, по предположению, имеется по крайней мере два разложения числа c 0на простые множители, то должно быть разложение, не содержащее число р 0. Наименьшее простое число в этом разложении мы обозначим через р 1и запишем

c 0= p 1 d 1. (3.1.1)

Так как p 1> p 0, то d 1< d 0и, следовательно, p 0 d 1< c 0. Рассмотрим число

c 0' = c 0— p 0 d 1 = ( p 1- p 0) • d 1. (3.1.2)

Так как оно меньше, чем число c 0, то оно должно раскладываться на простые множители единственным способом; при этом простые множители числа c 0состоят из простых множителей чисел p 1- p 0и d 1. Так как число c 0делится на p 0, то из выражения (3.1.2) следует, что число c 0' также делится на p 0. Следовательно, p 0должно быть делителем либо числа d 1, либо p 1- p 0. Но любой простой делитель числа d 1больше, чем p 0, так как p 1— наименьшее простое число в разложении (3.1.1). Таким образом, остается единственная возможность: p 0должно быть делителем числа p 1- p 0и, следовательно, оно делит p 1. Итак, мы пришли к противоречию, потому что p 1является простым числом и не может делиться на другое простое число p 0.

Выше мы отмечали, что единственность разложения числа на простые множители совсем не очевидна. В действительности, существуют «арифметики», в которых аналогичная теорема не выполняется. Простейшим примером такой арифметики может служить арифметика четных чисел

2, 4, 6, 8, 10, 12…

Некоторые из них могут быть разложены на два четных множителя, а другие — нет; последние мы называем чётно-простыми числами . Это числа, которые делятся на 2, но не делятся на 4:

2, 6, 10, 14, 18….

Очевидно, что каждое четное число либо является четно-простым, либо записывается в виде произведения чётно-простых чисел. Но такое разложение на чётно-простые числа не всегда будет единственным. Например, число 420 может быть разложено на четно-простые числа различными способами:

420 = 6 • 70 = 10 • 42 = 14 • 30.

Система задач 3.1.

1. Найдите разложение на простые множители каждого из чисел 120, 365, 1970.

2. Проделайте то же самое для чисел, указанных в задаче 1 системы задач 2.1 (стр. 25).

3. Запишите все разложения числа 360 на чётно-простые числа.

4. В каких случаях четные числа обладают единственным разложением на четно-простые множители?

Разложим на множители какое-нибудь число, скажем, 3600. Это разложение

3600 = 2 • 2 • 2 • 2 • 3 • 3 • 5 • 5

может быть записано как

3600 = 2 4• 3 2• 5 2.

Вообще при разложении числа n на множители аналогично можно собирать одинаковые простые множители в виде степеней и записывать

n = p 1 α 1 • p 2 α 2 • …. • р r α r , (3.2.1)

где p 1, p 2…. р r — различные простые множители числа n , причем число p 1входит α 1раз, p 2входит α 2раз и т. д.

Если мы знаем вид (3.2.1) для числа, то мы сможем тотчас же ответить на некоторые вопросы об этом числе.

Например, если мы захотим, то можем узнать, какие числа делят число n . Возьмем для примера рассмотренное выше число 3600. Предположим, что число d является одним из его делителей, т. е.

3600 = d • d 1.