Норберт Винер - Кибернетика или управление и связь в животном и машине

где

(3.907)

то есть

(3.908)

и

, (3.909)

где для симметрии пишем

.

Теперь мы можем определить k (ω) из (3.908), как прежде определили k (ω) из (3.74). Здесь мы принимаем

В результате

(3.910)

и

. (3.911)

Таким образом, наилучшее определение функции m ( t ) с наименьшей среднеквадратической ошибкой есть

. (3.912)

[c.150]

Сравнивая это с уравнением (3.89) и пользуясь рассуждениями, подобными тем, посредством которых было получено (3.88), заключаем, что оператор для m ( t )+ n ( t ), дающий «наилучшее» представление функции m ( t+a ), имеет при записи в частотной шкале следующий вид:

. (3.913)

Этот оператор служит характеристическим оператором устройства, которое в электротехнике называют волновым фильтром. Величина а есть фазовое отставание фильтра. Она может быть положительной или отрицательной; если она отрицательна, то а называется фазовым опережением. Прибор, соответствующий формуле (3.913), может быть построен с какой угодно точностью. Подробности его конструкции нужны более для инженера-электрика, чем для читателя этой книги. Их можно найти в соответствующей литературе [147].

Среднеквадратическая ошибка фильтрации (3.902) может быть представлена как сумма среднеквадратической ошибки фильтрации для бесконечного фазового отставания

(3.914)

[c.151]

и другого члена

, (3.915)

зависящего от фазового отставания. Мы видим, что среднеквадратическая ошибка фильтрации есть монотонно убывающая функция фазового отставания.

Другим интересным вопросом в случае сообщений и шумов, порождаемых броуновым движением, является скорость передачи информации. Рассмотрим для простоты случай, когда сообщение и шум независимы, т. е. когда

. (3.916)

Рассмотрим в этом случае функции

, (3.917)

где γ и σ распределены независимо. Пусть нам известна сумма m ( t ) +n ( t ) в интервале (— А, А ). Сколько у нас тогда информации об m ( t )? Заметим, что, по эвристическому суждению, это количество информации не должно слишком отличаться от количества информации о функции

(3.918)

которым мы располагаем, когда нам известны все значения выражения

, (3.919)

где γ и σ имеют независимые распределения. Можно, однако, показать, что n -й коэффициент Фурье для выражения (3.918) имеет гауссово распределение, независимое от всех других коэффициентов Фурье, и что его [c.152]среднеквадратическое значение пропорционально величине

(3.920)

Следовательно, в силу (3.09) полное количество информации об М равно

, (3.921)

а временная плотность передачи энергии равна этой величине, деленной на 2 А . Если А→ ∞, то выражение (3.921) стремится к

. (3.922)

Именно этот результат и был получен автором и Шенноном для скорости передачи информации в рассматриваемом случае. Как видим, эта величина зависит не только от ширины полосы частот, которой мы располагаем для передачи сообщения, но и от уровня шума. В действительности она обнаруживает прямую связь с аудиограммами, применяемыми для измерения величины слуха и потери его у данного индивидуума. В аудиограмме абсциссой служит частота, ординатой нижней границы — логарифм порога слышимой силы звука (мы можем назвать его логарифмом внутреннего шума принимающей системы), а ординатой верхней границы — логарифм наибольшей силы звука, которую система может пропустить. Площадь между ними, представляющая величину такой же размерности, как выражение (3.922), принимается за меру скорости передачи информации, с которой ухо способно справиться. [c.153]

Теория сообщений, линейно зависящих от броунова движения, имеет много важных вариантов. Основными являются формулы (3.88), (3.914) и (3.922), разумеется, вместе с определениями, необходимыми для их понимания. Существует ряд вариантов этой теории. Прежде всего она дает нам наилучший возможный синтез предсказывающих устройств и волновых фильтров в случае, когда сообщения и шумы представляют собой реакции линейных резонаторов на броуновы движения, однако и в значительно более общих случаях она обеспечивает некоторый возможный синтез предсказывающих устройств и фильтров. Последние, правда, не будут иметь абсолютно наилучшей конструкции, но, во всяком случае, позволят свести к минимуму среднеквадратическую ошибку предсказания при использовании линейных устройств. Однако, вообще говоря, найдутся такие нелинейные устройства, которые будут работать лучше, чем любые линейные устройства.