Лиза Рэндалл - Закрученные пассажи: Проникая в тайны скрытых размерностей пространства.

х' = γх — cβγt, t' = γt — βγx/c, у' = у, z' = z,

с

где β — v/c, с — скорость света, γ = ( 1 — β 2) -1/2.

9. Уравнения Эйнштейна указывают нам, как определить метрику g μν по известному распределению материи и энергии:

R μν = 1/ 2g μνR = 8πG/c 4*T μν

Здесь R μν — тензор кривизны Риччи, связанный с метрикой g μν— тензор энергии-импульса, описывающий распределение материи и энергии, G — ньютоновская постоянная тяготения, с — скорость света. Например, для покоящегося вещества плотностью массы ρ компонента T 00= ρ, в то время как все другие компоненты тензора равны нулю.

10. Энергия на единичный интервал частоты, излучаемая черным телом температурой Т зависит от частоты f согласно формуле f 3/(е hf/kT— 1) , где k = 1,3807 — 10 -16эрг/К — постоянная Больцмана, переводящая температуру в энергию. Обратите внимание на то, что при низких частотах энергия растет с частотой. Однако при частотах, когда энергия кванта hf велика по сравнению с kT, спектр резко обрывается, и излучаемая энергия при больших частотах экспоненциально мала.

11. На самом деле волновая функция является комплекснозначной. Это является источником многих странных свойств квантовой механики. Когда вы складываете две комплексные функции, а затем возводите сумму в квадрат, вы в общем случае получите результат, отличный от того, который получится, если сначала возвести в квадрат, а затем сложить. Это приводит к явлениям интерференции. Например, в эксперименте с двумя щелями вероятность, записанная на экране, возникает от интерференции волн, описывающих два возможных пути электрона.

12. Точнее, это есть произведение постоянной Планка и абсолютной величины коммутатора двух величин, деленной пополам.

13. Специальная теория относительности утверждает, что покоящееся тело массой m 0 обладает энергией Е = m 0c 2 . В более общем случае, тело, движущееся со скоростью v (β = v/с, γ = (1 — β 2) -1/2) , переносит энергию Е = γт 0с 2. Массу т 0 иногда называют инвариантной массой (т. е. не зависящей от системы отсчета). Это название связано с тем, что согласно законам преобразования специальной теории относительности соотношение

Е 2 — р 2с 2= (m 0) 2с 4

одинаково в любой системе отсчета. Заметим, что для того, чтобы породить тело массой то, необходимо затратить энергию, по меньшей мере равную m 0c 2 . Обратим внимание также на то, что когда масса тела мала по сравнению с его энергией (на самом деле, с энергией, деленной на с 2 ), энергия и импульс связаны приближенным соотношением Е = рс. Именно поэтому при высокой энергии импульс и энергия взаимозаменяемы.

14. Уравнения Максвелла в системе СГСЭ имеют вид:

div Е = 4πρ,

rot E = — 1/c * ϐB/ϐt

div В = 0,

rot H = 4π/c * j + 1/c * ϐE/ϐt

где Е — электрическое поле, В — магнитное поле, ρ — плотность заряда, j — плотность тока. Это дифференциальные уравнения первого порядка; комбинируя два их них, можно вывести дифференциальное уравнение второго порядка, включающее только электрическое или только магнитное поле. Это уравнение принимает вид волнового уравнения, т. е. его решения есть синусоидальные волны [188] Волновые уравнения получаются из общей системы уравнений Максвелла при ρ = 0 и j = 0, т. е. в вакууме. — Прим. пер. .

15. На самом деле, согласно основополагающим принципам специальной теории относительности, может быть и четвертая поляризация, которая соответствует колебаниям во временном измерении. Но она тоже не существует, и та же внутренняя симметрия, которая устраняет третью (продольную) поляризацию, устраняет и «временную поляризацию». Так как эти вопросы не играют роли в обсуждении в этой и последующей главах, мы не будем их далее рассматривать.

16. На самом деле истинные симметрии, связанные со всеми взаимодействиями, более тонки и поворачивают поля, являющиеся комплексными величинами, превращая их друг в друга. Симметрии не только меняют поля местами, они превращают одно поле в линейную суперпозицию других полей. Взаимодействие, связанное с электромагнетизмом, поворачивает одно комплексное поле, в то время как слабое взаимодействие вращает два комплексных поля, превращая их друг в друга, а сильное взаимодействие вращает три поля.

17. Чтобы модель Хиггса заработала, нужно сделать так, чтобы по крайней мере одно из хиггсовских полей приняло ненулевое значение. Это станет возможным, если возникнет конфигурация с минимальной энергией, в которой значение по крайней мере одного из хиггсовских полей не равно нулю. Один из способов сделать это продемонстрирован на рис. М2, на котором показан так называемый потенциал «Мексиканская шляпа», т. е. график энергии, которую примет система для любой комбинации значений двух хиггсовских полей, причем две нижние оси являются абсолютными значениями двух хиггсовских полей, а высота трехмерной поверхности представляет энергию данной конкретной конфигурации. Этот конкретный потенциал имеет вид

λ(│H 1│ + │H 2│ — v 2) 2,

где λ определяет то, как искривлен потенциал, а V определяет значение, которое принимает │H 1│ + │H 2│ в точке минимума потенциала. Ключевое свойство этого потенциала заключается в том, что когда оба поля имеют равные нулю значения, это соответствует локальному максимуму. Поэтому энергетические соображения говорят, что оба хиггсовских поля не могут быть равными нулю. Напротив, они примут такие значения, которые поместят их на дно круговой чаши, окружающей начало координат.

18. Более точный способ описания симметрии слабого взаимодействия состоит в том, чтобы сказать, что она вращает поля, а не меняет их местами.

19. Это действительно упрощает нарушение симметрии. Даже, если х и у оба не равны нулю, например, если х и у равны 5, вращательная симметрия будет нарушена, так как выбрано конкретное направление, указывающее направление от точки x = 0, у = 0 к точке x = 5, у — 5. Аналогичная «вращательная» симметрия применима к полям хиггс 1и хиггс 2, но я упростила рассмотрение и рассматриваю симметрию просто как обменную. В действительности, даже если оба хиггсовских поля примут одинаковые значения, симметрия слабого взаимодействия будет нарушена, во многом аналогично тому, как точка х = 5, у = 5 спонтанно нарушает вращательную симметрию.

20. Хотя построение этой модели начинается с двух комплексных хиггсовских полей, в конечном итоге остается одна хиггсовская частица. Это происходит потому, что три остальных (действительных) поля становятся тремя дополнительными полями, требуемыми для того, чтобы превратить три безмассовых частицы с двумя физическими поляризациями в массивные частицы с тремя поляризациями. Три хиггсовских поля становятся третьими поляризациями трех тяжелых слабых калибровочных бозонов — двух W и Z. Четвертое оставшееся хиггсовское поле должно рождать истинные физические хиггсовские частицы. Если такая модель верна, эти частицы должны родиться на БАК.