Роман Сиренко - Сопротивление материалов. Шпаргалка для студентов

Для правильного побора материала при расчетах машин и сооружений надо знать механические свойства подбираемых материалов, к которым относятся:

– прочность– способность материала выдерживать воздействие внешних сил без разрушения и возникновения опасных последствий;

– пластичность– способность материала накапливать пластические деформации до разрушения;

– упругость– способность материала восстанавливать свою форму и размеры после удаления нагрузки;

– жесткость –способность тела противостоять упругой деформации и разрушению при воздействии.

Все детали перед введением в эксплуатацию подвергаются механическим испытаниям, что позволяет определить характеристики свойств материалов. Наиболее распространенным испытанием является растяжение. На начальном этапе растяжения абсолютные деформации пропорциональны нагрузке, а относительные деформации пропорциональны напряжению, т. е. справедлив закон Гука. Пределом пропорциональности σ пц называется максимальное напряжение, при котором выполняется закон Гука. При достижении нагрузкой некоторой величины в образце появляются остаточные деформации. Пределом упругости σ 0,05называют максимальное напряжение, при котором не возникают остаточные деформации. Принято считать за максимальное то напряжение, при котором в испытуемом образце появляются деформации 0,05 %. Предел пропорциональности, предел упругости, модуль упругости и коэффициент поперечной деформации характеризуют упругие свойства материала. Предел текучести материала σ m – это наименьшее напряжение, при котором деформация увеличивается без заметного увеличения нагрузки. Если после возникновения текучести продолжать увеличивать действие нагрузки, наступает разрушение. Пределом прочности(временным сопротивлением) σ в называют напряжение, соответствующее максимальной нагрузке, предшествующей разрушению образца. Пределы текучести и прочности характеризуют прочность материала. Также существуют две величины, характеризующие пластичность материала: относительное остаточное удлинениеδ (отношение изменения длины к начальной длине образца) и относительное остаточное сужениеψ (отношение изменения сечения к первоначальной площади сечения).

Испытания на сжатие для пластичных тел в начале дают результаты, похожие на растяжение, но при нарастании нагрузки пластичные тела не разрушаются, а сплющиваются. Поэтому целесообразнее таким испытаниям подвергать хрупкие тела с малым относительным остаточным удлинением при разрыве. Как правило, в таких испытаниях определяется предел прочности σ с в – максимальное напряжение, соответствующее максимальной нагрузке.

Статистически неопределимые задачи – это задачи, в которых число неизвестных превышает число уравнений статистики. Недостающие уравнения составляются исходя из условия совместности деформаций. Для примера рассмотрим систему, представленную на Рис. 2.1.

Рис. 2.1

Пусть крайние стержни, имеющие равные площади поперечных сечений (F 1= F 2) – стальные, средний стержень площадью F 3– медный. Длина среднего стержня – ℓ 3, крайних – ℓ 1= ℓ 2; допускаемые напряжения для стали – [σ c], для меди – [σ м]. Определить размеры поперечных сечений стержней под действием подвешенного груза Q. Установим силы, действующие на каждый из трех стержней. Считаем их растягивающими. Для их определения рассмотрим равновесие точки А. Схема действия сил на рисунке 2.2.

Рис. 2.2

Точка А в результате деформации переместится в точку А 1. Отрезок АА 1– удлинение среднего стержня Δℓ 3. Отрезки АВ 2и АС 2– удлинения первого стержня ∆ℓ 1и второго – ∆ℓ 2соответственно. Определим удлинения стержней ∆ℓ 1, ∆ℓ 2, ∆ℓ 3по закону Гука

Найдя из чертежа зависимость между этими удлинениями, получим дополнительное уравнение совместности деформаций. Из треугольника А 1АВ 2имеем:

АВ 2= АА 1cosα или ∆ℓ 1= ∆ℓ 3cosα

Подставляя значения ∆ℓ 1и ∆ℓ 3в это уравнение, получим:

Из треугольника АВД получаем ℓ 3= ℓ 1cosα, тогда

Подставляем значение N 1в уравнение равновесия и получаем:

По величинам этих усилий и допускаемым напряжениям определим F 1и F 3из условий:

В статически неопределимых системах возникают напряжения при отсутствии внешних нагрузок не только от неточности изготовления и сборки, но и от изменения температуры. Возьмем стержень, защемленный неподвижно концами при температуре t 1. Длина стержня ℓ, площадь поперечного сечения F, модуль упругости Е. Определить напряжения при изменении температуры до t 2. Выясним, какие силы будут действовать на стержень, если температура повысится от t 1до t 2. Стержень стремится удлиниться и будет распирать опоры А и В. Со стороны этих опор будут действовать реакции, они и вызовут сжатие стержня. Их величины нельзя найти из уравнений статики, так как единственное условие равновесия дает нам, что реакции опор в точках А и В равны по величине и прямо противоположны. Задача статически неопределимая.

R A= R B

Для составления дополнительного уравнения мысленно отбросим одну из опор, например, опору В и дадим стержню деформироваться в зависимости от температуры на величину ∆ℓ t. По законам физики

∆ℓ t= αℓ(t 2– t 1),

где α – коэффициент линейного расширения материала. Но так как длина стержня, закрепленного концами, остается и при нагревании неизменной, вернем опору В в первоначальное положение. Стержень укоротится на величину