Андрей Варламов - Физика повседневности. От мыльных пузырей до квантовых технологий

Это утверждение легко доказывается. В правильном многоугольнике, у которого n сторон, каждый угол равен α = 180° – 360°/ n . С другой стороны, если каждая вершина многоугольника является общей с ( m – 1) другими многоугольниками, то α = 360°/ m . Поэтому для целых чисел m и n должно выполняться условие 2/ m = 1 – 2/ n , что возможно лишь для n = 3, 4 или 6 (в чем читатель может убедиться без особых усилий). В частности, невозможно выложить паркет из правильных пятиугольников!

Хотя для задачи компактной укладки дисков почти нет практического применения, в реальном трехмерном мире часто рассматривается аналогичная задача (просто заменим диски на цилиндры). Например, электрические провода (цилиндрической формы) обычно собираются в компактные пучки. Это относится и к сверхпроводящим кабелям (см. главу 25, «Технология сверхпроводящих кабелей»), которые состоят из множества сверхпроводящих жил, заключенных в медную оболочку. Изначально провода имеют цилиндрическую форму, но после обжатия они превращаются в шестиугольные призмы!

В отличие от «классических» математических доказательств, написанных на языке формул, доказательство гипотезы Кеплера американский математик Томас Гейлс частично доверил компьютеру. Использование программных продуктов, помогающих ученым в их работе, бурно развивается в последние десятилетия. Подобное программное обеспечение помогает математикам в поисках решений как давно существующих, так и новых открытых проблем. К тому же они освобождаются и от скрупулезной проверки, которую теперь выполняет компьютер, – ведь его вычислительная мощность намного выше человеческой.

Полное доказательство, предложенное Гейлсом, представляет собой серию статей на более чем 250 страницах, а компьютерные коды занимают почти три гигабита памяти. Кто бы взялся прочесть их во всех подробностях и полностью вникнуть в суть доказательства Гейлса? Даже используя помощь компьютера, рецензенты статьи, опубликованной Гейлсом в 2005 году в Annals of Mathematics [6] Математический журнал, основанный в 1874 году и ныне издаваемый раз в два месяца Принстонским университетом и Институтом перспективных исследований. – Прим. пер. , не взялись утверждать, что предложенное им доказательство гипотезы Кеплера безупречно. И только в августе 2014 года команда Гейлса представила аргументы, которые привели к окончательному официальному признанию его доказательства! Как бы там ни было, но все и так давно были уверены, что предложенная Кеплером упаковка является максимально компактной. Ведь если бы это было не так, то за более чем три столетия кто-нибудь нашел бы лучшую, не так ли?

А теперь давайте выйдем из плоскости. Шары реального мира трехмерны, как и само пространство. Как можно их разместить наиболее компактным способом? Давайте попробуем: разумно будет для начала сформировать компактный плоский слой в соответствии с илл. 2. Затем выложим сверху идентичный слой, убедившись, что число точек соприкосновения максимально. Если это так, то каждый шар верхнего слоя касается трех шаров нижнего слоя, и наоборот (илл. 5a). Затем кладем третий слой, чтобы каждый из его шаров коснулся трех шаров второго слоя, и т. д. В результате каждый шар касается еще 12 шаров: шести в том же слое, трех в нижнем и трех в верхнем (илл. 5b). То же самое происходит и в следующих слоях.

4. Покрытие плоскости треугольниками. Центры дисков с илл. 2а образуют такую «сеть из треугольников»

5. Пример наиболее компактной упаковки шаров. a.На компактный плоский слой (желтого цвета) укладывается идентичный слой (красного цвета) таким образом, чтобы каждый красный шар касался трех желтых шаров. b.Третий слой может быть уложен двумя различными способами, при этом шары в нем либо расположены строго над шарами первого слоя (как синий шар), либо смещены (как белый шар)

Решили ли мы задачу? Является ли такая упаковка шаров наиболее плотной? Да, считал ученый XVII века Иоганн Кеплер (более известный открытием траектории движения планет вокруг Солнца. Он доказал, что планета описывает вокруг Солнца эллипс, в одном из фокусов которого оно и находится). Но у Кеплера не было доказательства для задачи об укладке шаров. В отличие от двумерного случая, строгое доказательство действительно очень сложно! Так сложно, что задача об укладке шаров (часто называемая «задачей Кеплера») фигурирует в известном списке, составленном в начале XX века немецким математиком Давидом Гильбертом, где были собраны приоритетные, на его взгляд, математические задачи.

Только в 1998 году американский математик Томас Гейлс объявил, что он решил эту задачу (см. врезку). Как и ожидалось, Кеплер был прав: упаковка компактных двумерных слоев действительно оказывается наиболее компактной трехмерной реализацией (илл. 6). Процент пространства, заполненного шарами, в таком случае составляет около 74 %. Если быть более точными, то читатель, имеющий достаточно храбрости [7] Приведем основные этапы расчета: в каждом слое N 1 центров N 1 шаров радиусом R образуется сеть из N 1 ромбов площадью (отсюда рассчитывается и доля площади плоскости, покрытой дисками: Расстояние между двумя слоями – Если имеется N шаров, то они занимают общий объем тогда как полный объем самих шаров составляет 4π NR 3 /3. , может убедиться, что доля объема пространства, заполненного шарами, составляет Это довольно мало.

6. Витрина с апельсинами – практический пример компактной укладки твердых шаров

В описанных выше компактных укладках каждый шар контактирует с 12 соседями. Но если рассматривать только один центральный шар, то, возможно, удастся расположить вокруг него большее количество шаров? И сколько шаров в таком случае можно разместить в общей сложности вокруг одного? Это максимальное число в английском языке называют kissing number («число поцелуев» между шарами).

Аналогичная задача в двумерном пространстве уже обсуждалась в разделе «Если бы мир был плоским…». На основе рассуждений или из опыта (ниже) легко увидеть, что «число поцелуев» на плоскости равно шести. Если еще несколько раз воспроизвести полученную локальную упаковку, то так можно замостить всю плоскость.