Андрей Варламов - Физика повседневности. От мыльных пузырей до квантовых технологий

Наш путешественник все еще не был убежден.

– Теорема Бернулли противоречит здравому смыслу. Для того чтобы поместить предмет в отверстие, например пробку в горлышко бутылки, на него нужно надавить. Как же в таком случае объяснить, почему давление воздуха при прохождении поезда, наоборот, понижается?

– Действительно, некоторые истины кажутся парадоксальными, – ответил Дэниел. Но случаи с пробкой и поездом совершенно разные. Предлагаю вам в следующее путешествие на поезде взять с собой устройство для измерения давления – барометр или высотомер, он меньше и его легче нести (илл. 4). Тогда вы удостоверитесь, что прибор при прохождении поездом туннеля указывает на понижение давления в вагоне. Этот опыт действительно стоит поставить, поскольку теорема Бернулли предполагает, что жидкость несжимаема и ее течение ламинарно (безвихревое), в то время как, врываясь в туннель, поезд создает существенное возмущение находящегося там воздуха. На самом деле при въезде действительно регистрируется небольшое избыточное давление, затем давление, как это и предусмотрено теоремой Бернулли, понижается, а при выходе поезда из туннеля происходит мгновенный подъем давления (илл. 3). То есть, въезжая в туннель, поезд создает перед собой волну избыточного давления; эта волна распространяется через туннель со скоростью, близкой к скорости звука, и достигает выхода намного раньше самого поезда. Из-за причудливых законов гидродинамики волна вместо того, чтобы покинуть туннель, здесь отражается. Таким образом, она вновь встречает поезд, снова отражается и т. д. Аналогично после входа в туннель, за хвостом поезда формируется волна пониженного давления.

5. Опыт Бернулли, как он был представлен в его «Гидродинамике». Вода из широкой емкости вытекает через узкую трубу. При отсутствии потока уровни A и B равны. Когда же вода течет, то между уровнями A и B устанавливается стабильная разность высот. Согласно теореме Бернулли ρ gz A + P A + ρ V A 2/2 = ρ gz C + P C + ρ V C 2/2, в то время как в узкой трубке постоянной ширины ρ gz B + P B = ρ gz C + P C . Так как P A = P B равны атмосферному давлению, то получаем g ( z A – z B ) = V C 2/2 – V A 2/2. Скорости V C и V A можно определить на основе измерения потока массы жидкости (поскольку сечения сосуда в точке A и трубки в C известны)

Клаудия снова вступила в разговор:

– С применением теоремы Бернулли в рассмотренной задаче связан кажущийся парадокс: наше рассуждение было основано на идее, что причиной возникновения потока жидкости является разность давлений, тогда как в конце концов у нас получилось, что, наоборот, сам поток является причиной перепада давления; поток, который чаще всего возникает под действием силы тяжести.

– Конечно, – согласился Дэниел. – Впрочем, это обстоятельство учитывалось в экспериментальном устройстве, с помощью которого Бернулли доказывал свою формулу. Жидкость текла по вертикальной трубе, установленной в нижней части сосуда (илл. 5). В этом случае поток оказывался не горизонтальным, как в туннеле, и теорему Бернулли необходимо было формулировать в более общей форме. А именно, в любой точке жидкости:

g – ускорение свободного падения и z – высота, P и V – по-прежнему давление и скорость потока (на высоте z ), а ρ – плотность жидкости. Исторически Бернулли уделял особое внимание конкретной проблеме: продолжительности вытекания жидкости из сосуда через малое отверстие (см. главу 10, врезку «Вытекание жидкости из сосуда и советы водопроводчика»).

– Вопрос вытекания жидкости из сосуда через отверстие уже изучался за столетие до Бернулли, в частности итальянским ученым Эванджелистой Торричелли. Последний заметил, что скорость потока не зависит от характера жидкости и формы сосуда и оказывается пропорциональной квадратному корню из h – высоты жидкости в сосуде. Однако этот результат был приблизительным, как и многие вещи, о которых я только что рассказал…

Изучая конкретный случай вытекания воды из какого-либо сосуда, мы увидим, что теорему Бернулли следует применять с определенной осмотрительностью.

Читатель легко может поставить следующий опыт, схема которого приведена ниже. Нальем воду в пластиковую бутылку с продырявленным дном и станем измерять время τ, за которое она опустошается, в зависимости от уровня ее начального наполнения H . Как связаны эти величины?

На первый взгляд можно решить, что величина P + ρ gh + ρ V 2/2 (здесь h – высота уровня воды в емкости в данный момент) одинакова на поверхности жидкости и на выходе ее из отверстия. При этом и давление на обоих уровнях должно быть равно атмосферному давлению P 0 . Предполагая, для простоты, что площадь сечения S емкости намного больше площади отверстия s , можно легко определить скорость потока V в момент, когда высота столба воды в нем есть h :

Заметим, что эта скорость равна скорости, которой достигает изначально неподвижное тело, упавшее с высоты h .

На самом же деле полученный ответ дает нам лишь порядок искомой величины, поскольку использование выше формулы Бернулли было основано на предположениях, которые не совсем точны. Давление на выходе из отверстия действительно равно P 0 , но только на поверхности струи, а не внутри. У дна сосуда давление оказывается бóльшим: оно равно давлению на поверхности, к которому добавляется вес столба жидкости, то есть P 0 + ρ gh . Оно не может резко, скачком, уравняться с давлением P 0 по всему объему рассматриваемого элемента струи, это выравнивание происходит постепенно. Таким образом, на выходе из отверстия скорость внутри струи оказывается меньшей, чем скорость воды у поверхности струи V . В конечном итоге скорость потока оказывается меньшей, чем следовало ожидать из приведенной выше оценки. Приведенная выше величина V умножается на коэффициент C , меньше или равный 1, величина которого зависит от геометрической формы отверстия: для кругового отверстия, просверленного непосредственно в нижней части сосуда, он близок к 0,6. Время слива τ с учетом этого коэффициента определяется так: