Ричард Фейнман - Том 1. Механика, излучение и теплота

Фиг. 18.4. Зависимость «инерции вращения» от плеча масс.

Масса M в этом устройстве не может падать слишком быстро, потому что она должна крутить тяжелый стержень. Расположим сначала массы m около оси вращения, причем грузик M будет как-то ускоряться. Однако после того, как мы изменим момент инерции, расположив массы m гораздо дальше от оси, мы увидим, что грузик M ускоряется гораздо медленнее, чем прежде. Происходит это вследствие возрастания инертности вращения, которая составляет физический смысл момента инерции — суммы произведений всех масс на квадраты их расстояний от оси вращения.

Между массой и моментом инерции имеется существенная разница, которая проявляется удивительным образом. Дело в том, что масса объекта обычно не изменяется, тогда как момент инерции легко изменить. Представьте себе, что вы встали на стол, который может вращаться без трения, и держите в вытянутых руках гантели, а сами медленно вращаетесь. Можно легко изменить момент инерции, согнув руки; при этом наша масса останется той же самой. Когда мы проделаем все это, то закон сохранения момента количества движения будет творить чудеса, произойдет нечто удивительное. Если моменты внешних сил равны нулю, то момент количества движения равен моменту инерции I 1, умноженному на угловую скорость ω 1, т. е. ваш момент количества движения равен I 1ω 1. Согнув затем руки, вы тем самым уменьшили момент инерции до величины I 2. Но поскольку из-за закона сохранения момента количества движения произведение Iω должно остаться тем же самым, то I 1ω 1должно быть равно I 2ω 2. Так что если вы уменьшили момент инерции, то ваша угловая скорость в результате этого должна возрасти .

В предыдущей главе мы установили факт существования некоторой замечательной точки, называемой центром масс . Она замечательна тем, что если на частицы, образующие тело (неважно, будет ли оно твердым или жидким, звездным скоплением или чем-то другим), действует великое множество сил (конечно, имеются в виду только внешние силы, поскольку все внутренние силы компенсируют друг друга), то результирующая сила приводит к такому ускорению этой точки, как будто в ней сосредоточена вся масса тела М . Давайте теперь обсудим свойство центра масс несколько подробнее.

Положение центра масс (сокращенно ц. м.) определяется уравнением

(19.1)

Это, разумеется, векторное уравнение, т. е. фактически три уравнения — по одному для каждого из трех направлений. Но мы будем рассматривать только x-направление; если вы поймете, что происходит в x-направлении, то поймете и два остальных. Что означает равенство Х ц.м.=∑m ix i/∑m i? Предположим на минуту, что тело разделено на маленькие кусочки с одинаковой массой m, причем полная масса будет равна числу таких кусочков N , умноженному на массу одного кусочка, скажем 1 г , или какую-то другую единицу. Тогда наше уравнение просто означает, что нужно взять координаты х всех кусочков, сложить их и результат разделить на число кусочков, т. е. X ц.м .= m ∑ x i / mN =∑ x i / N . Иными словами, если массы кусочков равны, то Х ц.м .-будет просто средним арифметическим x-координат всех кусочков. Но предположим, что один из кусочков вдвое тяжелее, чем каждый из остальных. Тогда в нашу формулу его координата будет входить с коэффициентом 2, т. е. в суммах ее нужно учитывать дважды. Нетрудно понять, почему это происходит. Ведь тяжелый кусочек можно представить себе как бы состоящим из двух легких, таких же, как и все остальные, так что, когда мы вычисляем среднее, его координату х нужно учитывать дважды: ведь кусочков-то в этом месте два. Таким образом, X ц.м.равно просто среднему арифметическому х-координат всех масс, причем каждая координата считается некоторое число раз, пропорциональное массе, как будто она разделена на маленькие кусочки единичной массы. Исходя из этого, легко доказать, что Х ц.м.должна находиться где-то между самой близкой и самой далекой частичкой. Вообще центр масс должен лежать где-то внутри многогранника, проведенного через крайние точки тела. Однако вовсе не обязательно, чтобы центр масс находился в самом теле; ведь могут быть тела, подобные окружности, например обруч, центр масс которого находится в геометрическом центре, а не на самом обруче.

Конечно, если объект симметричен, например прямоугольник, обладающий линией симметрии, то его центр масс должен лежать где-то на этой линии. Кстати, прямоугольник имеет еще одну линию симметрии и это однозначно определяет положение его центра масс. Для просто симметричного объекта центр масс должен лежать где-то на оси симметрии: ведь отрицательных х в этом случае ровно столько же, сколько и положительных.

Существует еще один очень забавный способ нахождения центра масс. Вообразите себе тело, состоящее из двух кусков А и В (фиг, 19.1).

Фиг. 19.1. Центр масс сложного тела лежит на линии, соединяющей центры масс двух составляющих его частей.

Центр масс в этом случае можно найти следующим образом. Находим сначала отдельно центры масс составных частей А и В и их полные массы М А и М B . После этого находим центр масс двух точечных тел, одно из которых имеет массу М А и расположено в центре масс части А , а другое — массу М B и расположено в центре масс части В . Полученная точка и будет центром масс всего тела. Другими словами, если нам известны центры масс всех частей сложного тела, то, чтобы найти его центр масс, не нужно повторять все сначала, а достаточно просто найти центр масс системы точечных тел с массами, равными массам каждой из частей и расположенными в их центрах масс. Посмотрим, как это получается.

Пусть мы хотим определить центр масс сложного тела, одни из частиц которого принадлежат части А , а другие — части В . При этом мы можем разбить полную сумму ∑m ix iна сумму по части А , т. е. ∑ Am ix iи сумму по части В , т. е. ∑ Bm ix i. Если бы мы находили центр масс только части А , то нам потребовалась бы первая из этих сумм, которая, как вы знаете, равна М А Х А , т. е. полной массе части А на x-координату ее центра масс: это просто следствие теоремы о центре масс, примененной к части A. То же самое можно сказать и о части В . Сумма ∑ B m i x i должна быть равна М В Х В . Сложив эти два результата, мы, конечно, должны получить MX , т. е.