Ричард Фейнман - Том 1. Механика, излучение и теплота

Этот факт имеет очень интересное следствие. В инерционной системе, движущейся без ускорения, момент сил всегда равен скорости изменения момента количества движения. Однако равенство момента силы и скорости изменения момента количества движения остается справедливым даже для ускоряющегося тела, если взять ось, проходящую через центр масс. Таким образом, теорема о равенстве момента сил скорости изменения момента количества движения верна в двух случаях: 1) ось фиксирована — в инерциальной системе; 2) ось проходит через центр масс — даже когда тело ускоряется.

Математическая техника вычисления центра масс относится к области курсов математики; там подобные задачи служат хорошими примерами по интегральному исчислению. Но, даже умея интегрировать, полезно знать некоторые трюки для вычисления положения центра масс. Один из таких трюков основан на использовании так называемой теоремы Паппа, которая работает следующим образом. Если мы возьмем какую-то замкнутую фигуру и образуем твердое тело, вращая эту фигуру в пространстве так, чтобы каждая точка двигалась перпендикулярно к плоскости фигуры, то объем образующегося при этом тела равен произведению площади фигуры на расстояние, пройденное ее центром тяжести! Разумеется, эта теорема верна и в том случае, когда плоская фигура движется по прямой линии, перпендикулярной к ее площади, однако если мы движем ее по окружности или какой-то другой кривой, то при этом получается гораздо более интересное тело. При движении по кривому пути внутренняя часть фигуры продвигается меньше, чем внешняя, и эти эффекты компенсируют друг друга. Так что если мы хотим определить центр масс плоской фигуры с однородной плотностью, то нужно помнить, что объем, образуемый вращением его относительно оси, равен расстоянию, которое проходит центр масс, умноженному на площадь фигуры.

Например, если нам нужно найти центр масс прямоугольного треугольника с основанием D и высотой H (фиг. 19.2), то это делается следующим образом.

Фиг. 19.2. Прямоугольный треугольник и прямой круговой конус, образованный вращением этого треугольника.

Вообразите себе ось, проходящую вдоль H , и поверните треугольник на 360° вокруг этой оси. Это дает нам конус. Расстояние, которое проходит x-координата центра масс, равно 2π х, а площадь области, которая двигалась, т. е. площадь треугольника, равна 1/ 2 HD . Произведение расстояния, пройденного центром масс, на площадь треугольника равно объему конуса, т. е. 1/ 3π D 2 H . Таким образом, (2π х )( 1/ 2 HD )= 1/ 3π D 2 H , или x=D/3. Совершенно аналогично вращением вокруг второго катета или просто по соображениям симметрии находим, что у = Н /3. Вообще центр масс любого однородного треугольника находится в точке пересечения трех его медиан (линий, соединяющих вершину треугольника с серединой противоположной стороны), которая отстоит от основания на расстоянии, равном 1/ 3длины каждой медианы.

Как это увидеть? Рассеките треугольник линиями, параллельными основанию, на множество полосок. Заметьте теперь, что медиана делит каждую полоску пополам, следовательно, центр масс должен лежать на медиане.

Возьмем теперь более сложную фигуру. Предположим, что требуется найти положение центра масс однородного полукруга, т. е. круга, разрезанного пополам. Где будет находиться центр масс в этом случае? Для полного круга центр масс расположен в геометрическом центре, но для полукруга найти его положение труднее. Пусть r — радиус круга, а x — расстояние центра масс от прямолинейной границы полукруга. Вращая его вокруг этого края как вокруг оси, мы получаем шар. При этом центр масс проходит расстояние 2π х , а площадь полукруга равна 1/ 2πr 2(половине площади круга). Так как объем шара равен, конечно, 4πr 3/3, то отсюда находим

или

Существует еще другая теорема Паппа, которая фактически является частным случаем сформулированной выше теоремы, а потому тоже справедлива. Предположим, что вместо твердого полукруга мы взяли полуокружность, например кусок проволоки в виде полуокружности с однородной плотностью, и хотим найти ее центр масс. Оказывается, что площадь , которая «заметается» плоской кривой при ее движении, аналогичном вышеописанному, равна расстоянию, пройденному центром масс, умноженному на длину этой кривой. (Кривую можно рассматривать как очень узкую полоску и применять к ней предыдущую теорему.)

Рассмотрим теперь проблему определения момента инерции различных тел. Общая формула для нахождения момента инерции объекта относительно оси z имеет вид

или

(19.4)

Иными словами, нужно сложить все массы, умножив каждую из них на квадрат ее расстояния до оси (x i 2+y i 2). Заметьте, что это верно даже для трехмерного тела, несмотря на то, что расстояние имеет такой «двумерный вид». Впрочем, в большинстве случаев мы будем ограничиваться двумерными телами.

В качестве простого примера рассмотрим стержень, вращающийся относительно оси, проходящей через его конец и перпендикулярной к нему (фиг. 19.3).

Фиг. 19.3. Прямой стержень, вращающийся вокруг оси, проходящей через один из его концов.

Нам нужно просуммировать теперь все массы, умноженные на квадраты расстояния х (в этом случае все у — нулевые). Под суммой, разумеется, я имею в виду интеграл от x 2, умноженный на «элементики» массы. Если мы разделим стержень на кусочки длиной dx , то соответствующий элемент массы будет пропорционален dx , а если бы dx составляло длину всего стержня, то его масса была бы равна М . Поэтому