Ричард Фейнман - Том 1. Механика, излучение и теплота

Рассмотрим, например, двухатомную молекулу, составленную из атомов с массами m А и m B . Нам удалось доказать, что движение в центре масс части А и части В таково, что < 1/ 2m Av A 2>=< 1/ 2m Bv B 2>= 3/ 2 kT . Но как это может быть, если отдельные части связаны друг с другом? Хотя они и связаны между собой, но обмен энергией при взаимных вращениях, изменении расстояния и соударениях с другими молекулами зависит только от того, как быстро они движутся . Только этим определяется обмен энергией при соударениях. Сила в каждый отдельный момент не имеет никакого значения. Следовательно, даже если между отдельными частями молекулы действуют силы, верен тот же принцип.

Докажем, наконец, что газовый закон справедлив и в том случае, когда внутреннее движение не учитывается. До сих пор нам не надо было включать внутреннее движение. Мы просто рассматривали одноатомный газ. Но теперь мы покажем, что скорость центра масс любого объекта, который можно рассматривать как тело массы М , равна

(39.24)

Иначе говоря, можно рассматривать как отдельные части, так и всю молекулу в целом! Посмотрим, почему это можно делать: масса двухатомной молекулы равна М =m А + m B , а скорость центра масс равна v ц.м.=( m A v A + m B v B )/ M . Нам нужно теперь определить < v ц.м. 2>. Если возвести в квадрат v ц.м., то получится

Умножив это на 1/ 2 M и усреднив, получим

[Мы воспользовались тем, что (m A+m B)/ М =1.] А чему равно < v A· v B>? (Хорошо бы, чтобы это было равно нулю!) Чтобы найти это среднее, используем наше предположение, что относительная скорость w= v A- v Bне предпочитает какое-то одно определенное направление остальным, т. е. средняя составляющая вдоль любого направления равна нулю. Мы предполагаем, следовательно, что

Но что такое w· v ц.м.? Это скалярное произведение, равное

Далее, поскольку < m A v A 2>=< m B v B 2>, то первый и последний члены взаимно уничтожаются, и мы получаем

Итак, если m А ≠ m B , то < v A· v B>=0, а это означает, что жесткому движению всей молекулы, рассматриваемой как одна частица массы М , соответствует средняя кинетическая энергия, равная 3/ 2kT.

Одновременно мы доказали, что средняя кинетическая энергия внутреннего движения двухатомной молекулы, если не учитывать движения центра масс, равна 3/ 2kT! Ведь полная кинетическая энергия отдельных частей молекулы равна 1/ 2m Av A 2+ 1/ 2m Bv B 2, а среднее ее значение — это 3/ 2kT+ 3/ 2kT, или 3kT. Кинетическая энергия движения центра масс равна 3/ 2 kT , так что средняя кинетическая энергия вращательного и колебательного движений двух атомов внутри молекулы — это разность этих величин, 3/ 2 kT .

Теорема о средней энергии центра масс — это весьма общая теорема: для каждого объекта, рассматриваемого как единое целое, независимо от того, действуют на этот объект силы или нет, средняя кинетическая энергия каждого независимого движения равна 1/ 2 kT . Эти «независимые направления движения» иногда называют степенями свободы системы. Число степеней свободы молекулы, составленной из r атомов, равно 3r, потому что для определения положения каждого атома нужны три координаты. Полную кинетическую энергию молекулы можно представить либо как сумму кинетических энергий отдельных атомов, либо как сумму кинетической энергии движения Центра масс и кинетической энергии внутренних движений. Последнюю иногда можно представить как сумму кинетической энергии вращений и кинетической энергии колебаний, но это можно сделать только приближенно. Наша теорема, если применить ее к r-атомной молекуле, гласит, что средняя кинетическая энергия молекулы равна 3/ 2rkT дж , из которых 3/ 2 kT — кинетическая энергия движения молекулы как целого, а остаток 3/ 2(r-1) kT — это внутренняя кинетическая энергия вращений и колебаний.

Мы уже изучали некоторые свойства большого числа сталкивающихся атомов. Наука, которая занимается этим, называется кинетической теорией, и она описывает свойства вещества, рассматривая, как сталкиваются атомы. Мы утверждаем, что все свойства вещества в целом можно объяснить, рассматривая движение отдельных его частей.

Пока мы ограничимся случаем теплового равновесия, т. е. всего лишь подклассом всех явлений природы. Законы механики, применяемые в условиях теплового равновесия, получили название статистической механики , и в этой главе вы немного познакомитесь с некоторыми основными теоремами этой науки.

Одна теорема статистической механики вам уже известна. Согласно этой теореме, для любого движения при абсолютной температуре Т средняя кинетическая энергия каждого независимого движения (каждой степени свободы) равна 1/ 2 kT . После этого нам становится кое-что известно о среднем квадрате скорости атомов. Теперь нам необходимо узнать чуть побольше о координатах атомов, чтобы выяснить, много ли их находится при тепловом равновесии в той или иной точке пространства, а также немного подробнее изучить распределение атомов по скоростям. Хотя мы знаем, чему равен средний квадрат скорости, мы все же не можем ответить на вопрос, сколько атомов обладают скоростью, в три раза большей, чем корень из среднего квадрата скорости, или скоростью, равной одной четверти корня из среднего квадрата скорости. А вдруг все атомы имеют одинаковую скорость?

Итак, вот два вопроса, на которые мы попытаемся дать ответ: 1) Как атомы располагаются в пространстве, когда на них действуют силы? 2) Каково распределение атомов по скоростям?