Ричард Фейнман - Том 1. Механика, излучение и теплота

Общая постановка задачи такова. Пусть скорость тела внутри корабля равна v (с точки зрения наблюдателя на корабле), а сам корабль имеет скорость и по отношению к Земле. Мы желаем знать, с какой скоростью v x это тело движется с точки зрения земного наблюдателя. Впрочем, это тоже не самый общий случай, потому что движение происходит в направлении х . Могут быть формулы для преобразования скоростей в направлении у или в любом другом; если они будут нужны, их всегда можно вывести. Внутри корабля скорость тела равна v x '. Это значит, что перемещение х ' равно скорости, умноженной на время:

(16.3)

Остается только подсчитать, какие у тела значения х и t с точки зрения внешнего наблюдателя, если х ' и t ' связаны соотношением (16.3). Подставим (16.3) в (16.2) и получим

(16.4)

Но здесь х выражено через t '. А скорость с точки зрения внешнего наблюдателя — это «его» расстояние , деленное на «его» время , а не на время другого наблюдателя ! Значит, надо и время подсчитать с его позиций

(16.5)

А теперь разделим х на t . Квадратные корни сократятся, останется же

(16.6)

Это и есть искомый закон: суммарная скорость не равна сумме скоростей (это привело бы ко всяким несообразностям), но «подправлена» знаменателем 1+uv/c 2.

Что же теперь будет получаться? Пусть ваша скорость внутри корабля равна половине скорости света, а скорость корабля тоже равна половине скорости света. Значит, и u равно 1/ 2 с , и v равно 1/ 2 c , но в знаменателе uv равно 1/ 4, так что

Выходит по теории относительности, что 1/ 2и 1/ 2дают не 1, а 4/ 5. Небольшие скорости, конечно, можно складывать, как обычно, потому что, пока скорости по сравнению со скоростью света малы, о знаменателе (1+ uv / с 2) можно забыть, но на больших скоростях положение меняется.

Возьмем предельный случай. Положим, что человек на борту корабля наблюдает, как распространяется свет . Тогда v = c . Что обнаружит земной наблюдатель? Ответ будет такой:

Значит, если что-то движется со скоростью света внутри корабля, то, с точки зрения стороннего наблюдателя, скорость не изменится, она по-прежнему будет равна скорости света! Это именно то, ради чего в первую очередь предназначал Эйнштейн свою теорию относительности.

Конечно, бывает, что движение тела не совпадает по направлению с равномерным движением корабля. Например, тело движется «вверх» со скоростью v y'по отношению к кораблю, а корабль движется «горизонтально». Проделывая такие же манипуляции (только х надо заменить на у ), получаем

так что при v x'=0

(16.7)

Итак, боковая скорость тела уже не v y ', а v y '√(1- u 2/ с 2). Этот результат мы получили, пользуясь формулами преобразований. Но он вытекает и прямо из принципа относительности по следующей причине (всегда бывает полезно докопаться до первоначальной причины). Мы уже раньше рассуждали (см. фиг. 15.3) о том, как могут работать движущиеся часы; свет кажется распространяющимся наискось со скоростью с в неподвижной системе, в то время как в движущейся системе он просто движется вертикально с той же скоростью. Мы нашли, что вертикальная компонента скорости в неподвижной системе меньше скорости света на множитель √(1-u 2/с 2) [см. уравнение (15.3)]. Пусть теперь материальная частица движется в тех же «часах» взад-вперед со скоростью, равной 1/n скорости света (фиг. 16.1).

Фиг. 16.1. Траектории светового луча и частицы внутри движущихся часов.

Пока частица пройдет туда и обратно, свет пройдет этот путь ровно n раз ( n — целое число). Значит, каждое тиканье «часов с частицей» совпадет с n -м тиканьем «световых часов». Этот факт должен остаться верным и тогда, когда тело движется , потому что физическое явление совпадения остается совпадением в любой системе. Ну а поскольку скорость с у меньше скорости света, то скорость v y частицы должна быть меньше соответствующей скорости в том же отношении (с квадратным корнем)! Вот почему в любой вертикальной скорости появляется корень.

Из предыдущей главы мы усвоили, что масса тела растет с увеличением его скорости. Но никаких доказательств этого, похожих на те рассуждения с часами, которыми мы обосновали замедление времени, мы не привели. Сейчас, однако, мы можем доказать, что (как следствие принципа относительности и прочих разумных соображений) масса должна изменяться именно таким образом. (Мы должны говорить о «прочих соображениях» по той причине, что нельзя ничего доказать, нельзя надеяться на осмысленные выводы, не опираясь на какие-то законы, которые предполагаются верными.) Чтобы не изучать законы преобразования силы, обратимся к столкновениям частиц. Здесь нам не понадобится закон действия силы, а хватит только предположения о сохранении энергии и импульса. Кроме того, мы предположим, что импульс движущейся частицы — это вектор, всегда направленный по ее движению. Но мы не будем считать импульс пропорциональным скорости, как это делал Ньютон. Для нас он будет просто некоторой функцией скорости. Мы будем писать вектор импульса в виде вектора скорости, умноженного на некоторый коэффициент

(16.8)

Индекс v у коэффициента будет напоминать нам, что это функция скорости v . Будем называть этот коэффициент «массой». Ясно, что при небольших скоростях это как раз та самая масса, которую мы привыкли измерять. Теперь, исходя из того принципа, что законы физики во всех системах координат одинаковы, попробуем показать, что формула для m v должна иметь вид m 0/√(1- v 2/ c 2).