Ричард Фейнман - Том 1. Механика, излучение и теплота

Пусть у нас есть две частицы (к примеру, два протона), которые между собой совершенно одинаковы и движутся навстречу друг другу с одинаковыми скоростями. Их общий импульс равен нулю. Что с ними случится? После столкновения их направления движения должны все равно остаться противоположными, потому что если это не так, то их суммарный вектор импульса будет отличен от нуля, т. е. не сохранится. Раз частицы одинаковы, то и скорости их должны быть одинаковы; более того, они просто должны остаться прежними, иначе энергия при столкновении изменится. Значит, схема такого упругого обратимого столкновения будет выглядеть, как на фиг. 16.2,а: все стрелки одинаковы, все скорости равны. Предположим, что такие столкновения всегда можно подготовить, что в них допустимы любые углы θ и что начальные скорости частиц могут быть любыми.

Фиг. 16.2. Упругое столкновение одинаковых тел, движущихся с равными скоростями в противоположных направлениях, при различном выборе систем координат.

Далее, напомним, что одно и то же столкновение выглядит по-разному, смотря по тому, как повернуты оси. Для удобства мы так повернем оси, чтобы горизонталь делила пополам угол между направлениями частиц до и после столкновения (фиг. 16.2,б). Это то же столкновение, что и на фиг. 16.2,а, но с повернутыми осями.

Теперь начинается самое главное: взглянем на это столкновение с позиций наблюдателя, движущегося на автомашине со скоростью, совпадающей с горизонтальной компонентой скорости одной из частиц. Как оно будет выглядеть? Наблюдателю покажется, что частица 1 поднимается прямо вверх (горизонтальная компонента у нее пропала), а после столкновения падает прямо вниз по той же причине (фиг. 16.3, а ).

Фиг. 16.3. Еще две картины того же столкновения (видимые из движущихся автомашин).

Зато частица 2 движется совсем иначе, она проносится мимо с колоссальной скоростью и под малым углом (но этот угол и до и после столкновения одинаков ). Обозначим горизонтальную компоненту скорости частицы 2 через и , а вертикальную скорость частицы 1 — через w .

Чему же равна вертикальная скорость u tgα частицы 2? Зная это, можно получить правильное выражение для импульса, пользуясь сохранением импульса в вертикальном направлении. (Сохранение горизонтальной компоненты импульса и так обеспечено: у обеих частиц до и после столкновения эта компонента одинакова, а у частицы 1 она вообще равна нулю. Так что следует требовать только сохранения вертикальной скорости utg α.) Но вертикальную скорость можно получить, просто взглянув на это столкновение с другой точки зрения! Посмотрите на столкновение, изображенное на фиг. 16.3, а из автомашины, которая движется теперь налево со скоростью и . Вы увидите то же столкновение, но перевернутое «вверх ногами» (фиг. 16.3, б). Теперь уже частица 2 упадет и подскочит со скоростью w , а горизонтальную скорость и приобретет частица 1. Вы уже, конечно, догадываетесь, чему равна горизонтальная скорость utg α; она равна w √(1-u 2/c 2) [см. уравнение (16.7)]. Кроме того, нам известно, что изменение вертикального импульса вертикально движущейся частицы равно

(двойка здесь потому, что движение вверх перешло в движение вниз). У частицы, движущейся косо, скорость равна v , ее компоненты равны u и w √(1- u 2/ c 2), а масса ее m v . Изменение вертикального импульса этой частицы Δ р '=2 m v w √(1—u 2/с 2), так как в соответствии с нашим предположением (16.8) любая компонента импульса равна произведению одноименной компоненты скорости на массу, отвечающую этой скорости. Но суммарный импульс равен нулю. Значит, и вертикальные импульсы должны взаимно сократиться, отношение же массы, движущейся со скоростью w , к массе, движущейся со скоростью v , должно оказаться равным

(16.9).

Перейдем к предельному случаю, когда w стремится к нулю. При очень малых w величины v и u практически совпадут, m w → m 0, а m v → m u . Окончательный результат таков:

(16.10)

Проделайте теперь такое интересное упражнение: проверьте, будет ли выполнено условие (16.9) при произвольных w, когда масса подчиняется формуле (16.10). При этом скорость v , стоящую в уравнении (16.9), можно найти из прямоугольного треугольника

Вы увидите, что (16.9) выполняется тождественно, хотя выше нам понадобился только предел этого равенства при w →0. Теперь перейдем к дальнейшим следствиям, считая уже, что, согласно (16.10), масса зависит от скорости. Рассмотрим так называемое неупругое столкновение . Для простоты предположим, что из двух одинаковых тел, сталкивающихся с равными скоростями w , образуется новое тело, которое больше не распадается (фиг. 16.4,а).

Фиг. 16.4. Две картины неупругого соударения тел равной массы.

Массы тел до столкновения равны, как мы знаем, m 0/√(1- w 2/ c 2). Предположив сохраняемость импульса и приняв принцип относительности, можно продемонстрировать интересное свойство массы вновь образованного тела. Представим себе бесконечно малую скорость u , поперечную к скоростям w (можно было бы работать и с конечной скоростью и , но с бесконечно малым значением и легче во всем разобраться), и посмотрим на это столкновение, двигаясь в лифте со скоростью - u . Перед нами окажется картина, изображенная на фиг. 16.4, а. Составное тело обладает неизвестной массой М . У тела 1, как и у тела 2, есть компонента скорости и , направленная вверх, и горизонтальная компонента, практически равная w . После столкновения остается масса М , движущаяся вверх со скоростью u , много меньшей и скорости света и скорости w . Импульс должен остаться прежним; посмотрим поэтому, каким он был до столкновения и каким стал потом. До столкновения он был равен p ~=2 m w u, а потом стал р '= M u u . Но M u из-за малости u, по существу, совпадает с М 0. Благодаря сохранению импульса