Ричард Фейнман - Том 2. Электромагнетизм и материя

Мы уже говорили, что э. д. с., созданная изменяющимся магнитным полем, может существовать даже в отсутствие проводников; т. е. магнитная индукция возможна без проводов. Мы можем представить себе э. д. с. вдоль произвольной математической кривой в пространстве. Она определяется как тангенциальная компонента Е, проинтегрированная вдоль кривой. Закон Фарадея гласит, что этот контурный интеграл равен скорости изменения магнитного потока через замкнутую кривую [соотношение (17.3)].

В качестве примера действия такого индуцированного электрического поля мы сейчас рассмотрим движение электрона в изменяющемся магнитном поле. Представим себе магнитное поле, которое всюду на плоскости направлено по вертикали (фиг. 17.4).

Фиг. 17.4. Электрон ускоряется в аксиально-симметричном магнитном поле, зависящем от времени.

Магнитное поле создается электромагнитом, но детали нас здесь интересовать не будут. В нашем примере мы предположим, что магнитное поле симметрично относительно некой оси, т. е. напряженность магнитного поля зависит только от расстояния до оси. Магнитное поле меняется также со временем. Представим теперь, что электрон в этом поле движется по круговой траектории постоянного радиуса с центром на оси поля. (Позже мы увидим, как можно создать такое движение.) Меняющееся магнитное поле создает электрическое поле Е, касательное к орбите электрона, которое будет двигать его по окружности. Вследствие симметрии это электрическое поле всюду на окружности принимает одну и ту же величину. Если орбита электрона имеет радиус r, то контурный интеграл от Епо орбите равен скорости изменения магнитного потока через окружность. Контурный интеграл от Еравен просто величине Е , умноженной на длину окружности 2πr. Магнитный поток, вообще говоря, дается интегралом. Обозначим через B ср— среднее магнитное поле внутри окружности; тогда поток равен этому среднему магнитному полю, умноженному на площадь круга. Мы получим (отвлекаясь от знака)

Поскольку мы предположили, что r—величина постоянная, то Е пропорционально производной по времени от среднего поля:

(17.4)

Электрон будет чувствовать электрическую силу q Eи будет ею ускоряться. Помня, что на основании точного релятивистского уравнения движения скорость изменения импульса пропорциональна силе, имеем

(17.5)

Для принятой нами круговой орбиты электрическая сила, действующая на электрон, всегда направлена по движению, поэтому полный импульс будет расти со скоростью, даваемой равенством (17.5). Комбинируя (17.5) и (17.4), можно связать скорость изменения импульса с изменением среднего магнитного поля:

(17.6)

Интегрируя по t , получаем следующее выражение для импульса электрона:

(17.7)

где р 0— импульс, с которым электрон начинает двигаться, а ΔB cp— последующее изменение B ср. Работа бетатрона — машины, ускоряющей электроны до больших энергий, основана именно на этой идее.

Чтобы понять, как работает бетатрон, необходимо представлять себе принцип движения электрона по окружности. В гл. 11 (вып. 1) мы уже обсуждали этот принцип. Если на орбите электрона создать магнитное поле В, возникнет поперечная сила q v× B, которая при соответствующем выборе Вможет заставить электрон двигаться по предположенной орбите. Вбетатроне эта поперечная сила вызывает движение электрона по круговой орбите постоянного радиуса. Мы можем определить, каким должно быть магнитное поле на орбите, опять с помощью релятивистского уравнения движения, но на этот раз для поперечной компоненты силы. В бетатроне (см. фиг. 17.4) поле Вперпендикулярно v, поэтому поперечная сила равна qvB . Таким образом, сила равна скорости изменения поперечной компоненты импульса p t :

(17.8)

Когда частица движется по окружности , скорость изменения поперечного импульса равна величине полного импульса, умноженной на ω — угловую скорость вращения (согласно аргументам, приведенным в гл. 11, вып. 1):

(17.9)

где, поскольку движение круговое,

(17.10)

Полагая магнитную силу равной поперечному ускорению, имеем

(17.11)

где В орб— поле при радиусе, равном r.

В приведенном в действие бетатроне импульс электрона, согласно выражению (17.7), растет пропорционально B ср, и чтобы электрон продолжал двигаться по собственной окружности, равенство (17.11) должно по-прежнему выполняться вместе с ростом импульса электрона. Величина B орбдолжна расти пропорционально импульсу р. Сравнивая (17.11) с (17.7), определяющим р , мы видим, что должно выполняться следующее соотношение между В ср— средним магнитным полем внутри орбиты радиуса r и магнитным полем В ор6на орбите:

(17.12)

Для правильной работы бетатрона нужно, чтобы среднее магнитное поле внутри орбиты росло в два раза быстрее магнитного поля на самой орбите. При этих условиях с ростом энергии частицы, увеличивающейся за счет индуцированного электрического поля, магнитное поле на орбите растет как раз со скоростью, нужной для удержания частицы на окружности.

Бетатрон используется для разгона электронов до энергий в десятки или даже в сотни миллионов электронвольт. Однако по ряду причин для ускорения электронов до энергий, много больших нескольких сот миллионов электронвольт, эта машина становится невыгодной. Одна из этих причин — трудность достижения на практике требуемой высокой величины среднего магнитного поля внутри орбиты, а вторая — несправедливость формулы (17.6) для очень больших энергий, так как в ней не учитывается потеря энергии частицей за счет излучения электромагнитной энергии (так называемое синхротронное излучение, см. гл. 34, вып. 3). По этим причинам ускорение электронов до самых больших энергий — до многих миллиардов электрон-вольт — совершается посредством машины другого рода, называемой синхротроном .