Ричард Фейнман - Том 3. Квантовая механика

(15.12)

Если написать ^P|ψ 0>= e iδ|ψ 0>, то у состояния | I > мы имеем е i δ=1, а у состояния | II > имеем е i δ=-1.

Возьмем другой пример. Пусть у нас есть правополяризованный по кругу фотон, распространяющийся в направлении z. Если мы совершим операцию поворота вокруг оси z, то, как мы знаем, это просто приведет к умножению амплитуды на e i φ, где φ — угол поворота. Значит, в этом случае для операции поворота δ просто равно углу поворота.

Далее, ясно, что если оказывается верным , что оператор ^ Q в какой-то момент времени просто меняет фазу состояния (скажем, в момент t =0), то это будет верно всегда . Иначе говоря, если состояние |ψ 1> переходит за время t в состояние |ψ 2>:

(15.13)

и если симметрия физической картины такова, что

(15.14)

то верно и то, что

(15.15)

Это ясно, ведь

и если ^Q|ψ 1>=е i δ|ψ 1>, то

[Верхние равенства следуют из (15.13) и (15.10) для симметричной системы, нижние — из (15.14) и из того, что всякое число, скажем е i δ, коммутирует с оператором.]

Итак, при некоторых симметриях то, что верно сначала, верно всегда. Но разве это не закон сохранения ? Да! Он утверждает, что если вы взглянете на исходное состояние и, проделав где-то в стороне небольшой подсчет, откроете, что операция, которая является операцией симметрии для системы , приводит только к умножению на некоторый фазовый множитель, то вы будете уверены, что это же свойство будет выполнено для конечного состояния — та же операция умножит и конечное состояние на тот же фазовый множитель. Это будет верно всегда, даже если вы ничего не знаете о том внутреннем механизме мира, который изменяет систему от начального состояния к конечному. Даже если вы не позаботились вглядеться в детали того, каким именно способом система переходит от одного состояния к другому, вы все равно имеете право говорить, что если вещь вначале находилась в состоянии с определенным характером симметрии и если гамильтониан этой вещи симметричен относительно этой операции симметрии, тогда тот же характер симметрии останется у состояния на вечные времена. Это основа всех законов сохранения квантовой механики.

Рассмотрим частный пример. Возьмем опять оператор ^ P . Сперва, правда, немножко изменим определение операции Р . Пусть ^ P будет не просто зеркальным отражением, потому что оно требует определения плоскости, в которой поставлено зеркало. Существует особый вид отражения, который указания плоскости не требует. Переопределим операцию ^ P таким образом: сперва вы отражаете в зеркале, находящемся в плоскости z, так что z переходит в - z, x остается х , а у остается у ; затем вы поворачиваете систему на угол 180° вокруг оси z, так что х переходит в - х , а у в - у . Все вместе называется инверсией , обращением координат. Каждая точка проецируется через начало координат в диаметрально противоположное положение. Все координаты всего на свете меняют знак. Эту операцию мы, как и прежде, будем обозначать символом Р . Она изображена на фиг. 15.4 и немного удобнее, чем простая операция отражения, потому что не нужно указывать, в какой координатной плоскости происходит отражение, достаточно лишь указать точку, являющуюся центром симметрии.

Фиг. 15.4. Операция инверсии ^P. То, что находится в точке A(х, у, z), переходит в точку А'(-х, -у, -z).

Теперь предположим, что у нас есть состояние |ψ 0>, которое при операции инверсии переходит в е iδ|ψ 0>, т. е.

(15.16)

Сделаем теперь новую инверсию. После двух инверсий мы вернемся к тому, с чего начали: ничего не изменится. Должно получиться

Но

Отсюда следует, что (е i δ) 2=1. Значит, если оператор инверсии является операцией симметрии для какого-то состояния, то у δ могут быть только две возможности:

а это означает, что или

(15.17)

В классической физике, если состояние симметрично относительно инверсии, то эта операция дает опять то же состояние. А в квантовой механике имеются две возможности: получается либо то же состояние , либо минус то же состояние. Когда получается то же состояние, ^ P |ψ 0>=|ψ 0>, мы говорим, что у состояния |ψ 0> четность положительна . Если знак меняется, так что ^ P |ψ 0>=-|ψ 0>, мы говорим, что четность состояния отрицательна . (Оператор инверсии ^ P известен также как оператор четности.) Состояние | I > иона Н 2 +обладает положительной четностью; состояние же | II > — отрицательной [см. (15.12)]. Бывают, конечно, состояния, не симметричные относительно операции ^ P ; это состояния без определенной четности. Например, в системе Н 2 +состояние | I > имеет положительную четность, состояние | II > — отрицательную, а состояние |1> определенной четности не имеет.

Когда мы говорим о том, что операция (например, инверсия) была совершена « над физической системой », то это можно представлять себе двояким образом. Можно считать, что все, что было в точке r, физически сдвинулось в обратную точку - r; или можно считать, что мы смотрим на ту же систему из новой системы отсчета х ', y ', z ', связанной со старой формулами х '=- х, у '=- у и z '=- z . Точно так же, когда мы говорим о поворотах, то можно либо считать, что мы поворачиваем целиком всю физическую систему, либо что поворачиваем систему координат, в которой мы измеряем нашу систему, оставляя последнюю закрепленной в пространстве. Эти две точки зрения по существу равноценны. Они равноценны и при повороте, только поворот системы на угол θ подобен повороту системы отсчета на отрицательный угол —θ. В нашем курсе мы обычно смотрели, что получается, когда берется проекция на новую систему осей. То, что при этом получается, совпадает с тем, что получится, если мы оставим оси прежними и повернем тело на столько же назад . Когда вы это делаете, не забудьте поменять знаки углов [60] В других книгах вы можете встретить формулы с другими знаками; вероятнее всего, в них используются углы, определенные по-иному. .