Ричард Фейнман - Том 3. Квантовая механика

(15.22)

где m — некоторое вещественное число.

Нам известен также тот примечательный факт, что если система симметрична относительно поворота вокруг z и если исходное состояние обладает тем свойством, что (15.22) окажется выполненным, то и позже у этого состояния сохранится то же свойство. Значит, это число m имеет большую важность. Если его значение мы знаем в начале, то мы знаем его и в конце. Это число m , которое сохраняется , есть константа движения . Причина, почему мы говорим об m , выталкиваем его на первый план, состоит в том, что оно не связано с каким-либо определенным углом φ, и еще потому, что у него есть соответствие в классической механике. В квантовой механике мы выбираем для mℏ (в состояниях, подобных |ψ 0>) название момент количества движения вокруг оси z . И тогда мы обнаруживаем, что в пределе больших систем та же величина равняется z-компоненте момента количества движения из классической механики. Значит, если мы имеем состояние, для которого поворот вокруг оси z приводит просто к фазовому множителю e im φ, то перед нами состояние с определенным моментом количества движения вокруг этой оси, и момент количества движения сохраняется. Он навсегда остается равным mℏ . Конечно, повороты можно делать вокруг любых осей, и сохранение момента количества движения тоже будет получаться для любых осей. Вы видите, что сохранение момента количества движения связано с тем фактом, что, когда вы поворачиваете систему, вы получаете опять то же состояние, только с новым фазовым множителем.

Сейчас мы покажем вам, насколько обща эта идея. Применим ее к двум другим законам сохранения, по физической идее точно соответствующим сохранению момента количества движения. В классической физике существует также сохранение импульса и сохранение энергии, и интересно, что оба они тоже связаны с некоторыми физическими симметриями. Положим, у нас имеется физическая система — атом, или сложное ядро, или же молекула, или что угодно — и если мы возьмем ее и как целое передвинем на новое место, то ничего не изменится. Значит, мы имеем гамильтониан с тем свойством, что он в некотором смысле зависит от внутренних координат , но не зависит от абсолютного положения в пространстве. В этих обстоятельствах существует специальная операция симметрии, которая называется пространственным переносом. Определим ^ D x ( а ) как операцию смещения на расстояние а вдоль оси х . Тогда для каждого состояния мы сможем проделать эту операцию и получить новое состояние. И опять здесь возможны весьма специальные состояния, обладающие тем свойством, что когда вы их смещаете по оси х на а , вы получаете то же самое состояние (если не считать фазового множителя). И так же, как делалось выше, можно доказать, что когда так бывает, то фаза пропорциональна а . Так что для этих специальных состояний |ψ 0> можно писать

(15.23)

Коэффициент k , умноженный на ℏ , называется х - компонентой импульса . Его называют так потому, что это число, когда система велика, численно совпадает с классическим импульсом р х . Общее утверждение таково: если гамильтониан не меняется при сдвиге системы и если вначале состояние характеризуется определенным импульсом в направлении х , то импульс в направлении х останется с течением времени неизменным. Полный импульс системы до и после столкновений (или после взрывов или еще чего-нибудь?) будет один и тот же.

Есть и другая операция, которая совершенно аналогична смещению в пространстве: сдвиг во времени. Положим, перед нами физические обстоятельства, когда ничто внешнее от времени не зависит, и вот в этих обстоятельствах мы помещаем нечто в некоторый момент времени в данное состояние и пускаем его на произвол судьбы. А в другой раз (в новом опыте) мы то же самое устройство запускаем двумя секундами позже или вообще τ секундами позже. И вот если ничего во внешних условиях не зависит от абсолютного времени, то все будет развиваться точно так же, как прежде, и конечное состояние совпадет с прежним конечным состоянием, за исключением того, что запоздает на время τ. В этих обстоятельствах также найдутся особые состояния, у которых развитие во времени обладает той особенностью, что запоздавшее состояние — это попросту старое состояние, умноженное на фазовый множитель. И на этот раз тоже ясно, что для этих особых состояний изменение фазы должно быть пропорционально τ. Можно написать

(15.24)

Общепринято при определении ω пользоваться знаком минус; при таком соглашении ωℏ — это энергия системы; она сохраняется . Итак, система с определенной энергией — это такая система, которая при сдвиге во времени на τ воспроизводит самое себя, умноженную на e - i ωτ. (Это как раз то, что мы говорили, когда определяли квантовое состояние с определенной энергией, так что все согласуется.) Это означает, что если система находится в состоянии с определенной энергией и если гамильтониан не зависит от t , то независимо от того, что произойдет дальше, система во все позднейшие времена будет обладать той же энергией.

Теперь вы понимаете, стало быть, какая связь между законами сохранения и симметрией мира. Симметрия по отношению к сдвигам во времени влечет за собой сохранение энергии; симметрия относительно положения на осях х, у или z влечет за собой сохранение соответствующей компоненты импульса. Симметрия относительно поворотов вокруг осей х, у и z влечет за собой сохранение х -, у - и z-компонент момента количества движения. Симметрия относительно отражений влечет за собой сохранение четности. Симметрия по отношению к перестановке двух электронов влечет за собой сохранение чего-то, чему не придумано еще названия, и т. д. Часть этих принципов имеет классические аналоги, а часть — нет. В квантовой механике есть больше законов сохранения, чем это нужно для классической механики или по крайней мере чем обыкновенно в ней в ходу.

Чтобы вы смогли разобраться в других книгах по квантовой механике, мы сделаем небольшую техническую ремарку и познакомим вас с одним общепринятым обозначением. Операция сдвига по времени — это как раз та самая операция ^ U , о которой мы как-то говорили: